【正文】 8min ??y 正 確 解 法 2 取正常數(shù) k ，易得 kxkxxkxy ????? )c osc os 8()s ins in 2( 2222 .268222 kkkkk ???????? 其中“ ? ”取“＝”的充要條件是 .1821c o sc o s8s ins in 2 22222 ???? kxtgxkxxkx 且，即且 因此，當 ,1826212 ????? kkyxtg 時， .18min ??y 第四講 數(shù)學思維的開拓性 一、概述 數(shù)學思維開拓性指的是對一個問題能從多方面考慮；對一個對象能從多種角度觀察；對一個題目能想出多種不同的解法，即一題多解。與 21,21237 ???? bb 所以必有21?b，此時當21??y時， 2d （從而 d ）有最大值， 所以 22 )7(34 ??b ，解得 .4,1 22 ?? ab 于是所求橢圓的方程為 .14 22 ??yx 例 10 求xxy 22 cos8sin2 ??的最小值 錯解 1 |c o ss in| 8c o s 8s in 22c o s 8s in 2 2222 xxxxxxy ?????? .16,.16|2s in| 16 m i n ???? yx 錯解 2 .261182221)c osc os 8()s ins in 2( 2222 ??????????? xxxxy 錯誤分析 在解法 1中， 16?y 的充要條件是 .1|2s in|c os8s in 222 ?? xxx 且 即 .1|sin|21|| ?? xtgx 且 這是自相矛盾的。即： 若 21?b ，則當 by ?? 時， 2d （從而 d ）有最大值。由當 21??y 時， 2d 有最大值，這步推理是錯誤的，沒有考慮 y 到的取值范圍。 所以 22 )7(34 ??b ，由此解得： .4,1 22 ?? ab 于是所求橢圓的方程為 .14 22 ??yx 錯解分析 盡管上面解法的最后結(jié)果是正確的，但這種解法卻是錯誤的。 例 9 設(shè)橢圓的中心是坐標原點，長軸 x 在軸上，離心率 23?e ，已知點)23,0(P 到這個橢圓上的最遠距離是 7 ，求這個橢圓的方程。在推理過程中，必須y O x? ? ? x F?所以 MHN? 是二面角 ?? 軸－y? 的平面角，依題意， MHN? ??60 . 在 .2160c o s, xHMHNM N HRt ?????? 中 又知 xHM ?// 軸（或 M 與 O重合）， xHN// 軸（或 H 與 O重合），設(shè) ),( yxN ， 則 ?????????????????.221yyxxyyxx 因為 點 ),( yxM ?? 在曲線 )0(22 ??? pxpy 上，所以 ).2(22 xpy ? 即所求射影的方程為 ).0(42 ?? ppxy (3) 推理的訓練 數(shù)學推理是由已知的數(shù)學命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學求解的核心。 所以曲線 C? 在 ?內(nèi)的射影的曲線方程是 .2 pxy ? 錯誤分析 上述解答錯誤的主要原因是，憑直觀誤認為曲線）的焦點，是射影 (F 其次，未經(jīng)證明 C?默認 條拋物線內(nèi)的射影（曲線）是一在 ? 。 圖 3－ 2因為二面角 ?? 軸－y? 等于 ?60 ， 且 軸，軸軸，軸 yxyx ??? 所以 .60???? xxo 設(shè)焦點 F? 在 ?內(nèi)的射影是 ),( yxF ，那么， F 位于 x 軸上， 從而 ,90,60,0 ????????? FOFOFFy 所以 .421260c os ppFOOF ???????所以點 )0,4(pF是所求射影的焦點。 例 8 （如圖 3－ 2－ 2），具有公共 y 軸的兩個直角坐標平面 ?和 ? 所成的二面角 ?? 軸－y? 等于 ?60 .已知 ? 內(nèi)的曲線 C? 的方程是 )0(22 ??? pxpy ，求曲線 C? 在 ?內(nèi)的射影的曲線方程。 ④避免直觀代替論證 我們知道直觀圖形常常為我們解題帶來方便。 C(3,0) y x O 圖 3－ 2－1 M N .012( 363 ）＝整理得 ?? qqq 12 4,0)1)(12(.012033336????????????qqqqqqq或得方程由 錯誤分析 在錯解中，由qqaqqaqqa ????????? 1 )1(21 )1(1 )1(916131 .012( 363 ）＝整理得 ?? qqq 時，應有 .101 ?? qa 和 在等比數(shù)列中， 01?a 是顯然的，但公比 q 完全可能為 1，因此，在解題時應先討論公比 1?q 的情況，再在1?q 的情況下，對式子進行整理變形。 例 7 設(shè)等比數(shù)列 ??na 的全 n 項和為 nS .若 963 2SSS ?? ，求數(shù)列的公比 q . 錯誤解法 ,2 963 SSS ??? qqaqqaqqa ?????????? 1 )1(21 )1(1 )1(916131 因此，在求軌跡時，一定要完整的、細致地、周密地分析問題，這樣，才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。從動圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以 x 軸正半軸上任一點為圓心，此 點到原點的距離為半徑（不等于 3）的圓也符合條件，所以 )30(0 ??? xxy 且 也是所求的方程。根據(jù)已知條件得 3|||| ?? PMCP ，即 .3)3( 22 ???? xyx 化簡得 ).0(122 ?? xxy 錯誤分析 本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點都滿足條件），而沒有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點都在所求的軌跡上）。 正確解法 要使原不等式成立，則 ????????????2)3(10301xxxx 或??? ?? ?? 03 01xx 53 ??? x ，或 .31 ??x ?原不等式的解集為 }51|{ ?? xx 例 6（軌跡問題）求與 y 軸相切于右側(cè)，并與 ⊙ 06: 22 ??? xyxC 也相切的圓的圓心 的軌跡方程。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會出錯。 充分條件和必要條件中我們的學習中經(jīng)常遇到。 如果 B 成立，那么 A 成立，即 AB? ，則稱 A 是 B 的必要條件。隨意增加、遺漏題設(shè)條件，都會產(chǎn)生錯誤解法。 錯解 1 .60,40,10,4 22222 ????????? acbaccax? 故所求的雙曲線方程為 .16040 22 ?? yx 錯解 2 由焦點 )0,10(F 知 ,10?c .75,5,2 222 ??????? acbaace? 故所求的雙曲線方程為 .17525 22 ?? yx 錯解分析 這兩個解法都是誤認為雙曲線的中心在原點，而題中并沒有告訴中心在原點這個條件。一元二次方程根的判別式是對實系數(shù)一元二次方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復系數(shù)一元二次方程中，造成解法錯誤。 例 實數(shù) m ，使方程 021)4(2 ????? miximx 至少有一個實根。 ①注意定理、公式成立的條件 數(shù)學上的定理和公式都是在一定條件下成立的。 當所求直線斜率為零時，直線為 ,1?y 平行 x 軸，它正好與拋物線 xy 22? 只有一個交點。 第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項系數(shù)不能為零，即 ,0?k 而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴密。 第二，題中要求直線與拋物線只有一個交點，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。 正確解法 122 ??x? ?????????????????2342302304232222xxxxxxxx ???????????????????2231231313131xxxxxx或或或 .22 ???? xx 或 例 求過點 )1,0( 的直線，使它與拋物線 xy 22? 僅有一個交點。原因是沒有弄清對數(shù)定義。“正確理解數(shù)學概念是掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識的前提。訓練的有效途徑之一是查錯。在由 xx 1? 推導 12?x 時，沒有討論 x 的正、負，理由不充分，所以出錯。任何一個論證都是由推理來實現(xiàn)的，推理出錯，說明思維不嚴密。 推理錯誤 推理是運用已知判斷推導出新的判斷的思維形式。在數(shù)學中，如果概念不清，很容易導致判斷錯誤。 判斷錯誤 判斷是對思維對象的性質(zhì)、關(guān)系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種思維形式。因此必須弄清概念，搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎(chǔ)。但是，由于認知水平和心里特征等因素的影響，中學生的思維過程常常出現(xiàn)不嚴密現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在以下幾個方面： 概念模糊 概念是數(shù)學理論體系中十分重要的組成部分。 第三講 數(shù)學思維的嚴密性 二、概述 在中學數(shù)學中，思維的嚴密性表現(xiàn)為思維過程服從于嚴格的邏輯規(guī)則，考察問題時嚴格、準確，進行運算和推理時精確無誤。如果能以反思性的態(tài)度考察各個選擇答案的來源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答案。 利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得： ,6,2 ???? kk ???? .449)43(42)(22)(1212)1()1(222222???????????????????k???????????? 有的學生一看到 449? ，常受 選擇答案（ A）的誘惑，盲從附和。8)(。 例 7 設(shè) ??、 是方程 0622 ???? kkxx 的兩個實根，則 22 )1()1( ??? ?? 的最小值是（ ） 不存在)(。 例 6 解方程 .cos322 xxx ??? 考察方程兩端相應的函數(shù) xyxy c o s,2)1( 2 ???? ，它們的圖象無交點。 x y O 圖 2－ 2－ 1 x y O 圖 2－ 2－ 2 思 路 分 析 傳統(tǒng)的思維方法是： 30支隊比賽，每次出兩支隊，應有 15＋7＋ 4＋ 2＋ 1＝ 29場比賽。 例 5 30支足球隊進行淘汰賽，決出一個冠軍，問需要安排多少場比賽？ 解 因為每場要淘汰 1個隊， 30個隊要淘汰 29個隊才能決出一個冠軍。 (3) 獨立思考，敢于發(fā)表不同見解 受思維定勢或別人提示的影響，解題時盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強思維的反思性。 養(yǎng)成驗算的習慣，可以有效地增強思維反思性。 當方程①有一正根、一 負根時，得??? ???? .0102a解之，得 .11 ??? a 因此，當 817?a 或 11 ??? a 時，圓 012 222 ????? aaxyx 與拋物線 xy 212 ?有兩個公共點。 錯誤解法 將圓 012 222 ????? aaxyx 與拋物線 xy 212 ? 聯(lián)立，消去 y ， 得 ).0(01)212( 22 ?????? xaxax ① 因為有兩個公共點，所以方程①有兩個相等正根，得?????????????.01021202aa 解之，得 .817?a 錯誤分析 （如圖 2－ 2－ 1； 2－ 2－ 2）顯然，當 0?a 時，圓與拋物線有兩個公共點。 例 3 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項和 12 ?? nnS ，求 .na 錯誤解法 .222)12()12( 1111 ???? ????????? nnnnnnnn SSa 錯誤分析 顯然，當 1?n 時， 123 1111 ???? ?Sa ，錯誤原因，沒有注意公式 1??? nnn SSa 成立的條件是 ).(2 Nnn ?? 因此在運用 1??? nnn SSa 時，必須檢驗 1?n 時的情形。 (2) 驗算的訓練 驗算是解題后對結(jié)果進行檢驗的過程。這樣才能避免循環(huán)論證的錯誤。循環(huán)論證的錯誤是在不知不覺中產(chǎn)生的，而且不易發(fā)覺。 例 2 證明勾股定理：已知在 ABC? 中， ??? 90C ，求證 .222 bac ?? 錯誤證法 在 ABCRt? 中， ,c os,s in cbAcaA ?? 而 1cossin 22 ?? AA ， 1)()( 22 ??? cbca ，即 .222 bac ?? 錯誤分析 在現(xiàn)行的中學體系中， 1cossin 22 ?? AA 這個公式本身是從勾股定理推出來的。 正確解法 由題意有 ?????????22)2()1(bafbaf 解得： )],2()1(2[32)],1()2(2[31 ffbffa ???? ).1