【正文】 程為 =2? ，圓 2C 的極坐標方程為 =4cos??， 解 =2=4cos??????得 =2, = 3???? ，故圓 1C 與圓 2C 交點的坐標為 2, , 2,33??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? …… 5分 注：極坐標系下點的表示不唯一 （ 2）（解法一）由 = cos= sinxy ???????，得圓 1C 與圓 2C 交點的直角坐標為 ? ? ? ?1, 3 , 1, 3 故圓 1C 與圓 2C 的公共弦的參數(shù)方程為 =1 3 3=x tyt? ??? （或參數(shù)方程寫成 =1 3 3=x yyy? ????） … 10 分 （解法二） 將 =1x 代入 = cos= sinxy ???????，得 cos =1??，從而 1=cos? ? 于是圓 1C 與圓 2C 的公共弦的參數(shù)方程為 =1 = ta n 33xy ????? ???? 【點評】 本題要注意圓 221 :4C x y??的圓心為 )0,0( 半徑為 21?r ，圓 222 : ( 2 ) 4C x y? ? ?的圓心為 )0,2( 半徑為 22?r ，從而寫出它們的極坐標方程；對于兩圓的公共弦，可以先求出其代數(shù)形式，然后化成參數(shù)形式，也可以直接根據(jù)直線的參數(shù)形式寫出。 曲線 2C : sin ,3cosxay ????? ??直角坐標方程為 222 19xya ??,其與 x 軸交點為 ( ,0),( ,0)aa? , 由 0a? ,曲線 1C 與曲線 2C 有一個公共點在 X軸上 ,知 32a? . 【點評】本題考查直線的參數(shù)方程 、 橢圓的參數(shù)方程 ,考查等價轉化的思想方法等 .曲線 1C與曲線 2C 的參數(shù)方程分別等價轉化為直角坐標方程 ,找出與 x 軸交點 ,即可求得 . :本題考察平面直角坐標與極坐標系下的曲線方程交點 . 解析 : π4??在直角坐標系下的一般方程為 )( Rxxy ?? ,將參數(shù)方程21,( 1)xtyt???? ??? (t 為參數(shù) )轉化為直角坐標系下的一般方程為 222 )2()11()1( ??????? xxty 表示一條拋物線 ,聯(lián)立上面兩個方程消去 y 有 0452 ??? xx ,設 BA、 兩點及其中點 P 的橫坐標分別為 0xxx BA 、 ,則有韋達定理 2520 ??? BA xxx,又由于點 P 點在直線 xy? 上 ,因此AB 的中點 )25,25(P . :? ?1,1 .法 1:曲線 1C 的普通方程是 2yx? ( 0y? ),曲線 2C 的普通方程是 222xy??,聯(lián)立解得 11xy?????,所以交點坐標為 ? ?1,1 . 法 2:聯(lián)立 2 cos2sintt??? ??????,可得 22 cos 2 sin??? ,即 22 c os 2 c os 2 0??? ? ?,解得2cos 2?? 或 cos 2??? (舍去 ),所以 11t t???? ???,交點坐標為 ? ?1,1 . 9. 【答案】 2 【解析】直線轉化為 1xy??,曲線轉化為圓 229xy??,將題目所給的直線和圓圖形作出 ,易知有兩個交點 . 【考點定位】 本題考查直線和圓的位置關系 ,而且直線和圓是以參數(shù)方程的形式給出的 ,學生平時對消參并不陌生的話 ,此題應該是比較容易的 . 10. 【解析】距離是 3 圓 224 s i n ( 2 ) 4xy??? ? ? ? ?的圓心 (0,2)C 直線 : ( ) 3 06l R x y???? ? ? ? ?。 (Ⅱ) 判斷直線 l 與圓 C 的位置關系 . 參考答案 一 、填空題 1. 解析 :將極坐標方程化為普通方程為 12x=與 222x y x+=,聯(lián)立方程組成方程組求出兩交點的坐標 13( , )22 和 13( , )22 ,故弦長等于 3 . 2. 【答案】 22 【解析】曲線 1C 的直角坐標方程是 21xy??,曲線 2C 的普通方程是直角坐標方程 2 2 2x y a??,因為曲線 C1: ( 2 c os sin ) 1? ? ???與曲線 C2: a?? ( 0)a? 的一個交點在極軸上 ,所以 1C 與 x 軸交點橫坐標與 a 值相等 ,由 20, 2yx??,知 a = 22 . 【點評】本題考查直線的極坐標方程 、 圓的極坐標方程 ,直線與圓的位置關系 ,考查轉化的思想 、 方程的思想 ,考查運算能力 。 (Ⅱ) 求圓 12CC與 的公共弦的參數(shù)方程 . 12． （ 2020新 課標文 理 ） 選修 44:坐標系與參數(shù)方程 已知曲線 1C 的參數(shù)方程是 2cos3sinxy ????? ??(? 是參數(shù) ),以坐標原點為極點 ,x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系 ,曲線 2C :的極坐標方程是 ? =2,正方形 ABCD 的頂點都在 2C 上 ,且A,B,C,D依逆時針次序排列 ,點 A的極坐標為 (2,3? ). (Ⅰ) 求點 A,B,C,D的直角坐標 ?！?3 年高考 2 年模擬】第十二章系列 4 第三節(jié) 44 坐標系與參數(shù)方程 第一部分 三年高考薈萃 高考數(shù)學 坐標系與參數(shù)方程 一、填空題 1 ． （ 2020陜西文） 直線 2 cos 1??? 與圓 2cos??? 相交的弦長為 ___________。 2 ．（ 2020湖南文） 在極坐標系中 ,曲線 1C : ( 2 c os sin ) 1? ? ???與曲線 2C : a?? ( 0)a? 的一個交點在極軸上 ,則 a? _______. 3 ． （ 2020廣東文） (坐標系與參數(shù)方程 )在平面直角坐標系 xOy 中 ,曲線 1C 和 2C 的參數(shù)方程分別為 5cos5sinxy??? ??????(? 為參數(shù) ,0 2???? )和21222xtyt? ?????? ????(t 為參數(shù) ),則曲線 1C 與 2C 的交點坐標為 ________. 4 ． （ 2020上海理） 如圖 ,在極坐標系中 ,過點 )0,2(M 的直線 l 與極軸的夾角 6??? .若 將 l 的極坐標方程寫成 )(?? f? 的形式 ,則 ?)(?f _________ . 5． （ 2020 陜西理） (坐標系與參數(shù)方程 )直線 2 cos 1??? 與圓 2cos??? 相交的弦長為___________. 6． （ 2020 湖南理） 在直角坐標系 xOy 中 ,已知曲線 1C : 1,12xtyt???? ??? (t 為參數(shù) )與曲線2C : sin ,3cosxay ????? ?? (? 為參數(shù) , 0a? ) 有一個公共點在 X軸上 ,則 __a? . 7． （ 2020湖北理） (選修 44:坐標系與參數(shù)方程 )在直角坐標系 xOy中 ,以原點 O為極點 ,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系 . 已知射線 π4?? 與曲線21,( 1)xtyt???? ??? (t為參數(shù) )相交于 A,B兩點 ,則 線段 AB的中點的直角坐標為 __________. 8． （ 2020 廣東理） (坐標系與參數(shù)方程 )在平面直角坐標系 xOy 中 ,曲線 1C 和 2C 的參數(shù)方程分別為 xtyt???? ???( t 為參數(shù) )和 2cos2sinxy??? ??????(? 為參數(shù) ),則曲線 1C 與 2C 的交點坐標為________. x O M l ? 9． （ 2020 北京理） 直線 2,1xtyt???? ?? ??(t 為參數(shù) )與曲線 3cos3sinxy?????(? 為參數(shù) )的交點個數(shù)為____________. 10． （ 2020安徽理） 在極坐標系中 ,圓 4sin??? 的圓心到直線 ()6 R?????的距離是 _____ 二 、解答題 11． （ 2020遼寧文 理 ） 選修 4? 4:坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標 xOy 中 ,圓 221 :4C x y??,圓 222 : ( 2 ) 4C x y? ? ?. (Ⅰ) 在以 O 為極點 ,x 軸正半 軸為極軸的極坐標系中 ,分別寫出圓 12,CC的極坐標方程 ,并求出圓 12,CC的交點坐標 (用極坐標表示 )。 (Ⅱ) 設 P為 1C 上任意一點 ,求 2 2 2 2| | | | | | | |P A P B P C P D? ? ?的取值范圍 . 13． （ 2020江蘇 ） [選修 4 4:坐標系與參數(shù)方程 ]在極坐標中 ,已知圓 C 經(jīng)過點 ? ?2 4P ?， ,圓心為直線 3sin3 2?? ???? ? ?????與極軸的交 點 ,求圓 C 的極坐標方程 . 14． （ 2020福建理） 選修 44:坐標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系中 ,以坐標原點 O 為幾點 ,x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系 .已知直線 l 上兩點 ,MN的極坐標分別為 23(2, 0), ( , )32? , 圓 C 的參數(shù)方程2 2 cos3 2 sinxy???????????(? 為參數(shù) ). (Ⅰ) 設 P 為線段 MN 的中點 ,求直線 OP 的平面直角坐標方程 。題型年年有 ,難度適中 .把曲線 1C 與曲線 2C 的極坐標方程都轉化為直角坐標方程 ,求出與 x 軸交點 ,即得 . 3. 解析 :? ?2,1 .法 1:曲線 1C 的普通方程是 225xy??( 0x? , 0y? ),曲線 2C 的普通 方程是10xy? ? ? ,聯(lián)立解得 21xy????? (舍去 12xy???? ??? ),所以交點坐標為 ? ?2,1 . 法 2:聯(lián)立25 co s 1225 sin2tt??? ?????? ????,消去參數(shù) ? 可得 222215tt? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?,解得1 22t ? (舍去 ), 2 2t ?? ,于是 21xy????? ,所以交點坐標為 ? ?2,1 . 4. [解析 ] )0,2(M 的直角坐標也是 (2,0),斜率31?k,所以其直角坐標方程為23 ?? yx , 化為極坐標方程為 : 2s in3c o s ?? ???? , 1)sinc o s( 2321 ?? ??? , 1)sin( 6 ???? ? , )sin(16 ??? ??,即 ?)(?f)sin(16 ???.(或 ?)(?f)cos(1 3???) :將極坐標方程化為普通方程為 12x= 與 222x y x+=,聯(lián)立方程組成方程組求出兩交點的坐標 13( , )22 和 13( , )22 ,故弦長等于 3 . 6. 【答案】 32 【解析】曲線 1C : 1,12xtyt???? ???直角坐標方程為 32yx?? ,與 x 軸交點為 3( ,0)2。點 C 到直線 l 的距離是 0 2 3 32? ? 二 、解答題 11. 【答案與解析】 【命題意圖】 本題主要考查點的極坐標表示、圓的極坐標方程、參數(shù)方程的表示及參數(shù)方程與一般方程的轉換、解方程組的知識，難度較小。 12. 【命題意圖】本題考查了參數(shù)方程與極坐標 ,是容易題型 . 【解析】 (Ⅰ) 由已知可得 (2 cos , 2 si n )33A ??, ( 2 c o s( ) , 2 sin ( ) )3 2 3 2B ? ? ? ???, ( 2 c o s( ) , 2 sin ( ) )33C ??????, 33( 2 c o s( ) , 2 sin ( ) )3 2 3 2D ? ? ? ???, 即 A(1, 3 ),B( 3 ,1),C(―1,― 3 ),D( 3 ,1), (Ⅱ) 設 (2 cos , 3 sin )P ??,令 S = 2 2 2 2| | | | | | | |P A P B P C P D? ? ?, 則 S = 221 6 c o s 3 6 s in 1 6????= 232 20sin ?? , ∵ 20 sin 1???,∴ S 的取值范圍是 [32,52]. 13. 【答案】 解 :∵ 圓 C 圓心為直線 3sin3 2?? ???? ? ?????與極軸的交 點 , ∴ 在 3sin3 2?? ???? ? ?????中令 =0? ,得 1?? . ∴ 圓 C 的圓心坐標為 (1,0). ∵ 圓 C 經(jīng)過點 ? ?2 4P ?， ,∴ 圓 C 的半徑為 ? ? 2 22 1 2 1 2 c o s = 14PC ?? ? ? ? ?. ∴ 圓 C 經(jīng)過極點 .∴ 圓 C 的極坐標方程為 =2cos??. 【考點】 直線和圓的 極坐標方程 . 【解析】 根據(jù)圓 C 圓心為直線 3sin3 2?? ???? ? ?????與極軸的交 點