【正文】 合考慮投保者心理、保費(fèi)、賠償金額、返回額以及宣傳力度等因素 ,應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法 ,建立一個(gè)汽車(chē)保險(xiǎn)的簡(jiǎn)單實(shí)用的數(shù)學(xué)模型 ， 對(duì)模型進(jìn)行求解和應(yīng)用，并對(duì)得到的結(jié)論進(jìn)行解釋 . 第二章 汽車(chē)保險(xiǎn)的 數(shù)學(xué)模型 問(wèn)題的分析 題目所要 解決 的問(wèn)題是實(shí)行安全法規(guī)后該汽車(chē)保險(xiǎn)公司所制定的保險(xiǎn)費(fèi)的變化情況 .社會(huì)保險(xiǎn)的作用就在于分擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)，汽車(chē)保險(xiǎn)費(fèi)由凈保費(fèi)和附加保費(fèi)兩部份構(gòu)成 ，附加保費(fèi)用于支付保險(xiǎn)公司的各種開(kāi)支，這部份費(fèi)用可假定是不變的 ,因而問(wèn)題的關(guān)鍵就在于凈保費(fèi)的變化 .凈保費(fèi)又 叫做風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)，在數(shù)量上等于保險(xiǎn)期間賠款的期望值 .因而通過(guò)對(duì)下一年的賠款期望值的估算來(lái)確定下一年的凈保費(fèi)的金額 .而賠款期望值即人 均事故賠償費(fèi)的估算涉及到總投保人數(shù)的估算和事故賠償費(fèi)總額的估算 .雖然投保人數(shù)的變化與保險(xiǎn)費(fèi)的多少有關(guān)，但通過(guò)合理 8 的假設(shè)（每輛車(chē)都必須投保）以及在頒布法規(guī)的情況下各個(gè)保險(xiǎn)公司的保險(xiǎn)費(fèi)都會(huì)發(fā)生相似的變化（就可以忽 略各 保險(xiǎn)公司的競(jìng)爭(zhēng)）可以得到投保人數(shù)的變化不依賴(lài)于保險(xiǎn)費(fèi)的變化 ,所以所要解 決的主要問(wèn)題就是下一年的事故賠償費(fèi)總額的估算和總投保人數(shù)的估算 .最后通過(guò)得到的各 級(jí) 的凈保費(fèi)以及已知的該 級(jí) 的保險(xiǎn)費(fèi)折扣率來(lái)計(jì)算得到基本保險(xiǎn)費(fèi) .模型建立部分分為兩個(gè)過(guò)程 ，首先解決沒(méi)有頒布法規(guī)的情況，再在此基礎(chǔ)上解決法規(guī)頒布了的情況 . 模型假設(shè) 1) 客戶(hù)被分成 0， 1， 2， 3 級(jí)，新客戶(hù)屬于 0 級(jí) . 2) 假設(shè)一車(chē)一險(xiǎn)，就是每年一輛汽車(chē)只能在一個(gè)公司投保 ,每輛新車(chē)必投保 . 3) 假設(shè)公司擴(kuò)展穩(wěn)定，基本支出費(fèi)用不變 . 4) 每一 級(jí) 別中總投保人數(shù)等于續(xù)保人數(shù)與新投保人 數(shù)之和 . 5) 投保人除注銷(xiāo)外不會(huì)退出該保險(xiǎn)公司而到其他保險(xiǎn)公司投保 . 6) 注銷(xiāo)人數(shù)等于自動(dòng)終止保險(xiǎn)人數(shù)與自然死亡人數(shù)之和 . 7) 索賠人數(shù)等于受傷人數(shù)和死亡人數(shù)之和 . 8) 交通事故率， 注銷(xiāo)率不變 . 9) 每年的新投保人數(shù)按等比例增長(zhǎng) . 10) 實(shí)施安全法規(guī)后，事故發(fā)生率不變， 各級(jí)別 死亡率等比例下降 . 11) 每名司機(jī)每年最多只發(fā)生一次交通事故 . 12) 下一年平均修理費(fèi) ,死亡賠償費(fèi) 不變 . 13) 注銷(xiāo)人平均所得到的償還退回金額不變 . 符號(hào)說(shuō)明 t ： 實(shí)施安全法規(guī)后的當(dāng)前年，如 t =1 表示實(shí)施法規(guī)的第一年 ( 1)iNt? : 上一年第 i 級(jí) 的總投保人數(shù) 9 ()iNt: 當(dāng)前年第 i 級(jí) 的總投保人數(shù) ()Nt新 ： 當(dāng)年 新投保的人數(shù) ()iNt索 ： 當(dāng)前年第 i 級(jí)的索賠人數(shù) i? ： 第 i 級(jí) 交通事故率 i? ： 實(shí)施安全法規(guī)前 第 i 級(jí) 死亡率 *i? ：實(shí)施安全法規(guī)后 第 i 級(jí)死亡率 i? ： 第 i 級(jí) 注銷(xiāo)率 ? ：新投保人數(shù)增長(zhǎng)率 is : 第 i 級(jí) 的補(bǔ)貼比例 iB ： 第 i 級(jí) 平均死亡賠償費(fèi) B : 實(shí)施安全法規(guī)前總 死亡賠償費(fèi) *B : 實(shí)施安全法規(guī)后總 死亡賠償費(fèi) iC ： 第 i 級(jí) 平均修理費(fèi) C : 實(shí)施安全法規(guī)前總修理 費(fèi) *C : 實(shí)施安全法規(guī)后總修理 費(fèi) iD : 第 i 級(jí) 平均醫(yī)療費(fèi) D : 實(shí)施安全法規(guī)前總醫(yī)療 費(fèi) *D : 實(shí)施安全法規(guī)后 總 醫(yī)療 費(fèi) P ：實(shí)施安全法規(guī)前總賠償費(fèi) 10 *P : 實(shí)施安全法規(guī)后總賠償費(fèi) ? ： 醫(yī)療費(fèi)下降比例 iG : 第 i 級(jí) 注銷(xiāo)償還費(fèi) x : 投保人當(dāng)年的保險(xiǎn)費(fèi) S : 保險(xiǎn)公司當(dāng)年的營(yíng)業(yè)收入 E : 保險(xiǎn)公司當(dāng)年的各種支出總和 模型建立 根據(jù)假設(shè)有以下式子 ： 事故發(fā)生率 =索賠人數(shù)247。非壽險(xiǎn)精算起步較晚，目前還處于探索階段，其應(yīng)用在很大程度上還依賴(lài)于精算師個(gè)人的判 斷 .當(dāng)然，非壽險(xiǎn)精算發(fā)展遠(yuǎn)遠(yuǎn)遲于壽險(xiǎn)精算的一個(gè)重要原因是其數(shù)量分析更為復(fù)雜 .非壽險(xiǎn)精算保單持有人可能蒙受數(shù)種損失和在一定時(shí)期內(nèi)遭受數(shù)次損失，且受劇烈變化的經(jīng)濟(jì)環(huán)境的影響，非壽險(xiǎn)精算保單總是頻繁續(xù)保，其風(fēng)險(xiǎn)多數(shù)情況下都存在不均勻性等等都使得風(fēng)險(xiǎn)估測(cè)分析變得復(fù)雜而又困難 .精算師在厘定保費(fèi)過(guò)程中需要考慮的兩個(gè)十分重要的因素就是保單的索賠次數(shù)和索賠額 .根據(jù)保單組合索賠頻率的不同分為同質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)組合的索賠次數(shù)模型和非同質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)組合的索賠次數(shù)模型 .同質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)模型主要是泊松模型，對(duì)于非同時(shí)多車(chē)輛相撞事故發(fā)生的情況，泊松模型的有以 下幾個(gè)特性 [12]: (1) m 個(gè)相互獨(dú)立且參數(shù)分別為 ? i的泊松隨機(jī)變量之和仍然服從泊松分布，參數(shù)為1mii ???.但這并不意味著 m 個(gè)相互獨(dú)立的同質(zhì)勝保單組合的集體其索賠次數(shù)仍服從泊松分布，因?yàn)槿暨@ m 個(gè)同質(zhì)性保單組合的索賠頻率不相等，那么這個(gè)保單集體就是非同質(zhì)性的 . 5 (2)均值和方差都等于索賠頻率 ? ，偏度系數(shù) ? 隨著 ? 的增大逐漸減小，其中 : 1? ?? . 現(xiàn)實(shí)中多車(chē)輛相撞事故時(shí)有發(fā)生，在這種情況下，用泊松模型來(lái)描述是不精確的，王成勇等 [7]對(duì)泊松模型進(jìn)行了推廣，給出了一個(gè)新的模型 — 簇生點(diǎn)過(guò)程模型，用概率母函數(shù)為工具，給出了 ??,ot 內(nèi)理賠總量 的均值與方差 .王成勇等 [8]還對(duì)廣義泊松過(guò)程模型用鞍分析方法證明了其破產(chǎn)概率的 Lunderg 不等式 . 所謂非同質(zhì)性是指保單組合中每份保單的索賠次數(shù)頻率不相同 .在保險(xiǎn)實(shí)踐中，盡管大多數(shù)險(xiǎn)種都對(duì)保險(xiǎn)人根據(jù)某些先驗(yàn)變量進(jìn)行了分組，而且在選擇這些先驗(yàn)變量時(shí)希望他們能盡可能地反映被保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)水平 .但任何先驗(yàn)變量總是有一定缺陷的 .因此，被劃入同一組的保單仍然不可避免地存在某種程度的非同質(zhì)性，這就使得泊松模型失去了應(yīng)用的前提 .常用的非同質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)次數(shù)模型主要有 :負(fù)二 項(xiàng)分布模型、泊松 — 逆高斯模型、二元風(fēng)險(xiǎn)模型、三元風(fēng)險(xiǎn)模型、 二項(xiàng) — 貝塔分布模型、負(fù)二項(xiàng) — 貝塔分布模型等等 .孟生旺 [12]不但討論了這些保單組合的精算模型的均值、方差、偏度系數(shù)等，對(duì)于相關(guān)性保單組合利用概率母函數(shù)方法分別討論了當(dāng)每次事故引發(fā)的索賠次數(shù) iM 服從對(duì)數(shù)分布 、 泊松分布、二項(xiàng)分布、負(fù)二項(xiàng)分布以及截尾負(fù)二項(xiàng)分布情況下的均值、方差、偏度系數(shù)等性質(zhì) . 在某些險(xiǎn)種中，保單的索賠之間有一定的傳染性，也就是說(shuō)，一次索賠的發(fā)生可能會(huì)增加 (或減少 )下次發(fā)生索賠的可能性 .傳染的形勢(shì)多種多樣，孟生旺 [2]討論了索賠頻率之間存在線(xiàn)性傳 染關(guān)系的情況 . 索賠次數(shù)模型是多種多樣的，而索賠次數(shù)模型的選擇往往依賴(lài)于數(shù)據(jù)的具體形式一般而言，提供的數(shù)據(jù)越豐富，所能擬合的模型就越復(fù)雜，擬合效果就越好 . 常見(jiàn)的索賠額模型分布模型主要有指數(shù)分布、伽瑪分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、Pareto 分布、廣義 Pareto 分布、 weibull 分布、對(duì)數(shù)伽瑪分布、變換伽瑪分布等 [2]，孟生旺 [2]討論了通貨膨脹對(duì)索賠額模型的影響 . NCD 系統(tǒng)研究現(xiàn)狀 自保險(xiǎn)公司采用 NCD 以來(lái)，精算師們就沒(méi)有停止過(guò)對(duì) NCD 的研究 .在理論上，主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面 :一方面是基于索賠次數(shù)的 NCD 理論研究 。 (3)它可以鼓勵(lì)被保險(xiǎn)人小心駕車(chē)，為了避免保費(fèi)上的懲罰，司機(jī)們會(huì)盡量減少事故的發(fā)生，注意安全 。 由此可見(jiàn)， NCD 系統(tǒng)即是被保險(xiǎn)人上一保險(xiǎn)年度的索賠經(jīng)驗(yàn)調(diào)整他次年度續(xù)期保費(fèi) . 為了鼓勵(lì)成績(jī)好的保單持有人繼續(xù)留在同一保險(xiǎn)公司續(xù)保，近年來(lái)機(jī)動(dòng)車(chē)輛保險(xiǎn)中的無(wú)賠款優(yōu)待系統(tǒng)概念得到了進(jìn)一步地發(fā)展，早期的折扣率都很低，現(xiàn)在最高的已經(jīng)達(dá)到了 60%.在實(shí)際應(yīng)用中證明 NCD 系統(tǒng)具有一下的一些優(yōu)點(diǎn) [13一 15]: (1)它使每個(gè)投保人繳納的保費(fèi)更能真實(shí)地接近于個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)，即被保險(xiǎn)人繳納的保險(xiǎn)費(fèi)體現(xiàn)了其真實(shí)的風(fēng)險(xiǎn)水平 。 (2)新投保的被保險(xiǎn)人繳納初始等級(jí)的保險(xiǎn)費(fèi) 。讓沒(méi)有發(fā)生損失的被保險(xiǎn)人分擔(dān)發(fā)生了損失的被保險(xiǎn)人的損失也沒(méi)有什么不公平，這正是保險(xiǎn)的原理 .但是在商業(yè)保險(xiǎn)中，利益共同體不應(yīng)該導(dǎo)致“好的”被保險(xiǎn)人固有的 要為另一個(gè)“差的”被保險(xiǎn)人買(mǎi)單這樣一個(gè)局面 .若保險(xiǎn)人試圖將這種“補(bǔ)貼利益共同體”強(qiáng)加于客戶(hù)，他將會(huì)看到 “好的”被保險(xiǎn)人紛紛離去，而留下來(lái)的只是一些“差的”被保險(xiǎn)人了 .事實(shí)上把影響風(fēng)險(xiǎn)的所有因素觀(guān)察測(cè)量出來(lái)納入到費(fèi)率厘定中幾乎是不可能的，比如超車(chē)欲望、反應(yīng)敏捷性等變量均是不 可能事先度量的先驗(yàn)變量，也就是不能保證保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)的同質(zhì)性，因此，在不能保證保單的同質(zhì)性情況下，上述結(jié)論則不再成立 .應(yīng)允旬保人在一定時(shí)期內(nèi)依據(jù)對(duì)被保險(xiǎn)人的行為結(jié)果將其保費(fèi)加以調(diào)整，這種依賴(lài)于被保險(xiǎn)人個(gè)人及具體結(jié)果的費(fèi)率調(diào)整系統(tǒng)，我們稱(chēng)之為無(wú)賠款優(yōu)待系統(tǒng) (NCD:No 一 Claim— Discount). 在汽車(chē)保險(xiǎn)中，大多數(shù)國(guó)家的保險(xiǎn)人都實(shí)行了 NCD 系統(tǒng)，具體實(shí)施措施因各國(guó)各地而異，如英國(guó)的七個(gè)等級(jí)制、瑞士 22 個(gè)等級(jí)制、香港地區(qū)六個(gè)等級(jí)制、 3 中國(guó)大陸三個(gè)等級(jí)制等等 .在無(wú)賠款優(yōu)待系統(tǒng)中，一個(gè)新的保險(xiǎn)投保人 在其投保的第一年中，必須以其所屬組別的條件繳納全額保險(xiǎn)費(fèi)，而以后保險(xiǎn)費(fèi)的支付便依賴(lài)于它自身的損失紀(jì)錄 .若出現(xiàn)索賠，則保單持有人在次年享受較小的折扣或不能享受優(yōu)待，換句話(huà)說(shuō)，他將被降至一個(gè)比原己有折扣要低的等級(jí)中去 。