【正文】 連接 QF交 OP2于點 M． 。 ① 當點 Q在 AC上時，點 Q即為點 G， 如圖 1，作 ∠FOQ 的角平分線交 CE 于點 P1， 由 △OP 1F≌△OP 1Q，則有 P1F⊥x 軸， 由于點 P1在直線 AC上，當 x＝ 10時， y＝ 3 1 0 2 3 4 2 3 4 65? ? ? ? ? ∴ 點 P1(10， 2 34 6? )。 ∴EG ＝ 6， OG＝ 10。 ∴ 直線 AC的函數(shù)解析式為 y＝ 3x 2 345?? 。 ， tan∠ACB ＝ ．如圖，把 △ABC 的 一邊 BC放置在 x軸上，有 OB＝ 14， OC＝ ， AC與 y軸交于點 E． 21世紀教育網(wǎng) (1)求 AC所在直線的函數(shù)解析式； (2)過點 O作 OG⊥AC ，垂足為 G，求 △OEG 的面積； (3)已知點 F(10， 0)，在 △ABC 的邊上取兩點 P， Q，是否存在以 O， P， Q為頂點的三角形與 △OFP 全等，且這兩個三角形在 OP的異側？若存在，請求出所有符合條件的點 P的坐標；若不存在，請說明理由． 【答案】 解： (1) 在 Rt△OCE 中， OE＝ OCtan∠OCE ＝ 10 334 2 3435?? ， ∴ 點 E(0， 234 。 ② 在四邊形 ODME 中，已知了一個直角，只需判定該四邊形是平行四邊形即可，那么可通過證明兩組對邊平行來得證。 （ 2） ① 由 ∠QOP=90176。 【分析】 （ 1） ① 已知 m的值，代入拋物線的解析式中可求出點 P的坐標；由此確定 PA、 OA的長，通過解直角三角形易得出結論。 ， ∴ 四邊形 ODME是矩形。 同理可證： EM∥OD 。 ， ∴△QBO∽△MOA 。 ∴M （ 0， 1）。 ∴Q （211m m? ， ）。設 Q（ n， n2）， ∵△APO∽△BOQ ， ∴ BQ BO=AO AP 。 當 OQ=CQ 時，則 C3（ 0， 1）。 ∴OQ= 32 。 ② 設 Q（ n， n2）， ∵tan∠QOB=tan∠POM ， ∴ 2n2=? ． ∴ 2n= 2? 。 6. （ 2020浙江 嘉興 、舟山 14分） 在平面直角坐標系 xOy中，點 P是拋物線： y=x2上的動點（點在第一象限內）．連接 OP，過點 0作 OP的垂線交拋物線于另一點 Q．連接 PQ，交 y軸于點 M．作 PA丄 x軸于點 A，QB丄 x軸于點 B．設點 P的橫坐標為 m． （ 1）如圖 1，當 m= 2 時， ① 求線段 OP的長和 tan∠POM 的值； ② 在 y軸上找一點 C，使 △OCQ 是以 OQ 為腰的等腰三角形，求點 C的坐標； （ 2）如圖 2，連接 AM、 BM，分別與 OP、 OQ 相交于點 D、 E． ① 用含 m的代數(shù)式表示點 Q的坐標； ② 求證：四邊形 ODME是矩形． 【答案 】 解：（ 1） ① 把 x= 2 代入 y=x2，得 y=2， ∴P （ 2 ， 2）， ∴OP= 6 。 （ 2） ① 連接 CF并延長交 BA的延長線于點 G，利用 “ 角邊角 ” 證明 △AFG 和 △CFD 全等，根 據(jù)全等三角形對應邊相等可得 CF=GF， AG=CD，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得 EF=GF，再根據(jù) AB、 BC的長度可得 AG=AF，然后利用等邊對等角的性質可得 ∠AEF=∠G=∠AFG ，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得 ∠EFC=2∠G ，然后推出 ∠EFD=3∠AEF ，從而得解。 【分析】 （ 1）利用 60176。 此時， EG=10﹣ x=10﹣ 5 15=22， CE= 2 2 5 5 1 51 0 0 x = 1 0 0 =42??， ∴5 15CG 152ta n D CF ta n G15E G 32? ? ? ? ? ?。 ∴CE 2﹣ CF2=100﹣ x2﹣ 50+5x=﹣ x2+5x+50=﹣（ x﹣ 52 ） 2+50+254 。 在 Rt△CEG 中， CG2=EG2+CE2=（ 10﹣ x） 2+100﹣ x2=200﹣ 20x。 ∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF ， 因此，存在正整數(shù) k=3，使得 ∠EFD=3∠AEF 。 ∴∠AFG=∠G 。 ∵AB=5 ， BC=10，點 F是 AD的中點， ∴AG=5 ， AF=12 AD=12 BC=5。 ∵CE⊥AB ， ∴EF=GF 。 在 △AFG 和 △CFD 中， ∵∠G=∠DCF ， ∠G=∠DCF ， AF=FD， ∴△AFG≌△CFD （ AAS）。理由如下： 連接 CF并延長交 BA的延長線于點 G， ∵F 為 AD的中點， ∴AF=FD 。= CE 310 2? ，解得 CE=53。 時， ① 是否存在正整數(shù) k，使得 ∠EFD=k∠AEF ？若存在，求出 k的值；若不存在，請說明理由． ② 連接 CF，當 CE2﹣ CF2取最大值時，求 tan∠DCF 的值． 【答案】 解：（ 1） ∵α=60176。 時，求 CE 的長； （ 2）當 60176?！堞?＜ 90176。 （ 3）求出 AD 的函數(shù)解析式，然后結合直線 BC 的解析式可得出點 F 的坐標，根據(jù)勾股定理分別求出 BF， BC 得出 BF AB AB BC? ；由題意得 ∠ABF=∠CBA ， 即可 作出判斷。 【分析】 （ 1）利用待定系數(shù)法求解即可得出拋物線的解析式。 ∴ 以 A、 B、 F為頂點的三角形與 △ABC 相似。 ∴ BF AB AB BC? 。 則 ? ?2 2 2 22 1 0 5 5 2 1 0 1 0 2B F 1 0 A F 4 1 03 3 3 3 3 3? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?。 聯(lián)立直線 AD與直線 BC的函數(shù)解析式可得： y x 4 y 2x 2???? ?? ??，解得：2 x310 y3? ?????? ???。理由如下： 設直線 AD的解析式為 y=k1x+b1，則 1114k b 0 b 4? ? ??? ?? ，解得： 11k1 b 4??? ?? 。 ∴AE=CE 。 ∴ 直線 BC的解析式為 y=－ 2x+2． ∴ 點 E的坐標為（ 0， 2）。 ∴ 經(jīng)過 A、 B、 C三點的拋物線解析式為： y=－（ x＋ 4）（ x－ 1），即 y=－ x2－ 3x＋ 4。 (3)設拋物線與 y軸交于點 D，連接 AD交 BC于點 F，試問以 A、 B、 F，為頂點的三角形與 △ABC 相似嗎？ 請說明理由． 【答案】 解：（ 1） ∵ 拋物線經(jīng)過 A(－ 4， 0)、 B(1， 0)， ∴ 設函數(shù)解析式為： y=a（ x＋ 4）（ x－ 1）。 ② 過 E做 BC的垂線 EF，這個垂線段的長即為與 BC相切的 ⊙E 的半徑，可根據(jù)相似三角形 △BEF 、△BCO 得到的相關比例線段求得該半徑的值，由此得解。 （ 2）直線 l∥BC ，可得出 △AED∽△ABC ，它們的面積比等于相似比的平方，由此得到關于 s、 m的函數(shù)關系式；根據(jù)題目條件：點 E與點 A、 B不重合，可確定 m的取值范圍。 【考點】 二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，相似三角形的判定和性質，二次函數(shù)的最值，勾股定理，直線與圓相切的性質。 ∴ 27EF 1326? 。 ∴△CDE 的最大面積為 818 ， 此時， AE=m=92， BE=AB﹣ AE=92。 ∴s= 12 m2（ 0＜ m＜ 9）。 ∴AB=9 ， OC=9。 （ 3）由 PE∥BD ，得 △CPE∽△CBD ，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可列式可求得 BP的長。 （ 2）由 AP⊥PE ，得 Rt△ABP∽Rt△PCE ，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可列式得 y與 x的函數(shù)關系式。 【考點】 矩形的性質，全等三角形的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，二次函數(shù)的最值，平行的性質，解一元二次方程。 解得1 4x 3?或 2x3? （不合題意，舍去）。 ∵PE∥BD ， ∴△CPE∽△CBD 。 ∵ 221 3 1 3 9y x x ( x )2 2 2 2 8? ? ? ? ? ? ? ∴ 當 3x 2? 時， y的值最大，最大值是 98 。 ∴ AB BPPC CE? ，即 2x3 x y??。 在 Rt△ABP 中， AB=2， ∴BP= 2 2 2 2A P A B 3 2 5? ? ? ?。 2. （ 2020寧夏區(qū) 10分） 在矩形 ABCD中， AB=2， AD=3,P是 BC上的任意一點（ P與 B、 C不重合），過點 P作 AP⊥PE ，垂足為 P， PE交 CD 于點 E. (1)連接 AE，當 △APE 與 △ADE 全等時，求 BP 的長； (2)若設 BP為 x， CE為 y，試確定 y與 x的函數(shù)關系式。 當 ∠AON 是直角時，還可在 Rt△OMNK 中用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解： ∵OP=PN=PM ， OP= 224 +4 =4 2 ∵ PN= 0x － 4 ， ∴ 42= 0x － 4 。 （ 3） ① 根據(jù)正切函數(shù)定義，分別求出 ∠ANM 和 ∠ONM 即可證明。 【分析】 （ 1）由二次函數(shù)圖象的頂點為 P（ 4，－ 4）和經(jīng)過原點，設頂點式關系式，用待定系數(shù) 法即可求。 綜上所述，當點 A 在對稱軸 l 右側的二次函數(shù)圖象上運動時，存在點 A（ 4+4 2 4 ， ），使 ∠AON 是直角，即 △ANO 為直角三角形。 ∴ 此時，點 A與點 P重合。 ∵OD=4 ， MD= 08x? ， ND= 0x ， ∴ 008x 44x? ? 。 ∴ 此時存在點 A（ 4+4 2 4 ， ），使 ∠AON 是直角。 舍去 0x=0 ， 0 x =4 4 2? （在 l 左側）。 ∵ ? ?22 22 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 011 O A = x + x 2 x O N = 4 + x A N = x 4 + x 2 x + x44? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ， ， ∴ ? ?2222 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 011 x + x 2 x + 4 + x = x 4 + x 2 x + x44? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?。故此時不存在點 A，使 ∠ONA 是直角。 整理，得 200x 8x +16=0? ，解得 0 x=4 。理由如下：分三種情況討論： 情況 1，若 ∠ONA 是直角，由 ① ，得 ∠ANM=∠ONM=45 0， ∴△AHN 是等腰直角三角形。 ∴∠ANM=∠ONM 。 ∴ ? ? ? ?? ?000 220 0 0 00000 4 x 4 4 x 4x4OD 4 HA 4t a n ONM= t a n A NM= = =1ND x NH x x 4 xx 4x +64xx4 ???? ? ? ? ???? 。 則 M（ 04 x 8?， ）， N（ 04 x?， ）， H（ 20014 x 2x4 ? ，）。 （ 3） ① 證明：過點 A作 AH⊥ l 于點 H， l 與 x軸交于點 D。 又 ∵ 點 M、 N關于點 P對稱， ∴N （ 4，－ 6）， MN=4。 把 x=4 代入 1y= x2? 得 y= 2? 。 （ 2）設直線 OA的解析式為 y=kx ，將 A（ 6，－ 3）代入得 3=6k? ，解得 1k=2? 。 又 ∵ 二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點（ 0， 0）， ∴ ? ?20=a 0 4 4??，解得 1a=4 。 ∴ 當線段 AB最短時，點 B的坐標是（ 7655? ， ）。 解得 76x 2x 4=55? ? ? ， 。 由 A（－ 1， 0），得 AE= x＋ 1， EB1=∣2x － 4∣=4 － 2x， CO=2， DO=4。 過點 B1作 B1E垂直 x軸于點 E。 【考點】 直線上點的坐標與方程的關系，垂直線段最短的性質，相似三角形的判定和性質。 21. （ 2020廣西北海 3分） 如圖，點 A的坐標為（－ 1， 0），點 B在直線 y＝ 2x－ 4上運動，當線段 AB最 短時，點 B的坐標是 ▲ 。=75176。 ﹣ 60176。 ∴∠C=180176。 ， ∠B=45176。 ∴cosA= 12 ， sinB= 22 。 【考點】 非負數(shù)的性質，絕對值，偶次方，特殊角的三角函數(shù)值，三角形內角和定理。 20. （ 2020山東濟寧 3分） 在 △ABC 中，若 ∠A 、 ∠B 滿足 |cosA﹣ 12 |+（ sinB﹣ 22 ） 2=0，則 ∠C= ▲ ． 【答案】 75176。 ∴AB=6 － m－ m=6－ 2m。 【分析】 求 l與 m 的函數(shù)解析式就是把 m 當作已知量，求 l，先求 AD，它的長就是 D點的