【正文】 例 a+b=1,a0,b0,求證： .12 nnn ba ??? 解析 : 因為 a+b=1,a0,b0,可認為 ba ,21,成等差數(shù)列，設 dbda ????21,21， 從而nnnnn ddba ???????? ???????? ??? 122121 例 Nnn ?? ,1 ，求證)2)(1( 8)32( ??? nnn. 解析 : 觀察n)32(的結構，注意到nn )211()23( ??，展開得 8 6)2)(1(8 )1(212121211)211( 33221 ????????????????? nnnnnCCC nnnn ?， 即8 )2)(1()211( ???? nnn，得證 . 例 :nnn 2ln)211ln(2ln3ln ????. 解析 :參見上面的方法 ,希望讀者自己嘗試 !) 例 42.(20xx年北京海淀 5月練習 ) 已知函數(shù) **( ), ,y f x x y? ? ?NN，滿足： ① 對任意 *,a b a b??N ，都有 )()()()( abfbafbbfaaf ??? ； ② 對任意 *n?N 都有 [ ( )] 3f f n n? . （ I）試證明： )(xf 為 *N 上的單調增函數(shù)； （ II）求 )28()6()1( fff ?? ； （ III）令 *(3 ),nna f n??N，試證明： .121 1 1 14 2 4nnn a a a? ? ? ?? ≤ 解析 :本題的亮點很多 ,是一道考查能力的好題 . (1)運用抽象函數(shù)的性質判斷單調性 : 因為 )()()()( abfbafbbfaaf ??? ,所以可以得到 0)()()()( ???? bfbaafba , 也就是 0))()()(( ??? bfafba ,不妨設 ba? ,所以 ,可以得到 )()( bfaf ? ,也就是說 )(xf 為 *N 上的單調增函數(shù) . (2)此問的難度較大 ,要完全解決出來需要一定的能力 ! 首先我們發(fā)現(xiàn)條件不是很足 ,嘗試探索看看按 (1)中的不等式可以不可以得到什么結論 ,一發(fā)現(xiàn)就有思路了 ! 由 (1)可知 0))()()(( ??? bfafba ,令 )1(,1 fab ?? ,則可以得到 0))1())1(()(1)(( ??? fffxf ,又 3))1(( ?ff ,所以由不等式可以得到 3)1(1 ??f ,又 *)1( Nf ? ,所以可以得到 2)1( ?f ① 接下來要運用迭代的思想 : 因為 2)1( ?f ,所以 3)]1([)2( ?? fff , 6)]2([)( ?? fff , 9)]3([)( ?? fff ② 18)]6([)9( ?? fff , 27)]9([)( ?? fff , 54)]18([)27( ?? fff , 81)]27([)54( ?? fff 在此比較有技巧的方法就是 : 2754275481 ???? ,所以可以判斷 55)28( ?f ③ 當然 ,在這里可能不容易一下子發(fā)現(xiàn)這個結論 ,所以還可以列項的方法 ,把所有項數(shù)盡可能地列出來 ,然后 就可以得到結論 . 所以 ,綜合①②③有 )28()6()1( fff ?? = 662955 ??? (3)在解決 }{na 的通項公式時也會遇到困難 . nnnnnnn aafffffff 3),3(3)]}3([{)3(,3)]3([ 111 ????? ??? , 所以數(shù)列 *(3 ),nna f n??N的方程為 nna 32?? , 從而)311(41111 21 nnaaa ????? ? , 一方面41)311(41 ?? n,另一方面 1222)21(3 1100 ???????? nCC nnnn 所以2412 241)12 11(41)311(41 ????????? n nn nnn,所以 ,綜上有 121 1 1 14 2 4nnn a a a? ? ? ?? ≤ . 例 49. 已知函數(shù) f?x?的定義域為 [0,1]，且滿足下列條件： ① 對于任意 x? [0,1]，總有 ? ? 3fx? ，且 ??14f ? ； ② 若 1 2 1 20, 0, 1,x x x x? ? ? ?則 有 ? ? ? ?1 2 1 2( ) x x f x f x? ? ? ? （ Ⅰ ）求 f?0?的值； （ Ⅱ ）求證： f?x?≤4； （ Ⅲ ）當111( , ]( 1,2,3, )33nnxn?? ? ???時，試證明： ( ) 3 3f x x??. 解析 : （ Ⅰ ）解：令 120xx??， 由 ① 對于任意 x? [0,1]，總有 ? ? 3fx? ， ∴ (0) 3f ? 又由 ② 得 (0) 2 (0) 3,ff??即 (0) 3。 注： ① 上述不等式可加強為 .3)11(2 ???nn簡證如下： 利用二項展開式進行部分放 縮： .1111)11(221 nnnnnnn nCnCnCna ????????? ? 只取前兩項有 .2111 ???? nCa nn對通項作如下放縮： .2 1221 1!111!11 1???????????? kkkn knknnnnnknC ?? 故有 .32/11 )2/1(12122 1212111 112 ???????????? ?? nnna ? ② 上述數(shù)列 }{na 的極限存在，為無理數(shù) e ；同時是下述試題的背景： 已知 nmi , 是正整數(shù)，且 .1 nmi ??? （ 1）證明 iniimi AmAn ? ；（ 2）證明 .)1()1( mn nm ??? （ 01 年全國卷理科第 20 題） 簡析 對第（ 2）問：用 n/1 代替 n 得數(shù)列 nnn nbb 1)1(:}{ ??是遞減數(shù)列；借鑒此結論可有如下簡捷證法：數(shù)列 })1{( 1nn? 遞減，且 ,1 nmi ??? 故 ,)1()1( 11 nm nm ??? 即 mn nm )1()1( ??? 。2211222111211122111221nfaaaaaaaCaaCaaCCCCaaCaCaCaaCaaCaaCnSnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn?????????????????????????????????????????????? ★ 例 42. (20xx年江西高考試題 )已知函數(shù) ? ? 118axfx axxa? ? ? ???, ? ?0x,? ?? .對任意正數(shù) a ,證明： ? ?12fx??． 解析 :對任意給定的 0a? , 0x? ,由1 1 1( ) 1 1 81fx xaax? ? ??? ?, 若令 8bax?，則 8abx? ① ,而 ? ? 1 1 11 1 1fx x a b? ? ?? ? ?② （一）、先證 ?? 1fx? ；因為 1111 xx? ??， 1111 aa? ??， 1111 bb? ??， 又由 42 2 2 2 4 2 8a b x a bx abx? ? ? ? ? ? ? ，得 6a b x? ? ? ． 所以 ? ? 1 1 1 1 1 11 1 11 1 1fx x a bx a b? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?3 2 ( ) ( )(1 ) (1 ) (1 )a b x a b a x b xx a b? ? ? ? ? ?? ? ? ? 9 ( ) ( )(1 ) (1 ) (1 )a b x a b a x b xx a b? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 ( ) ( ) 1(1 ) (1 ) (1 )a b x a b a x b x a b xx a b? ? ? ? ? ? ???? ? ?． （二）、再證 ?? 2fx? ；由 ① 、 ② 式中關于 ,xab 的對稱性，不妨設 x a b??．則 02b?? （ ⅰ ）、當 7ab??，則 5a? ，所以 5xa??，因為 1 11 b??， 1 1 2 11 1 1 5xa? ? ?? ? ?，此時 ? ? 1 1 1 21 1 1fx x a b? ? ? ?? ? ?． （ ⅱ ）、當 7ab??③ ，由 ① 得 , 8xab?， 181 ababx ? ??， 因為 2221 1 [1 ]1 1 4 (1 ) 2 (1 )b b bb b b b? ? ? ? ?? ? ? ? 所以 1 1(1 )1 b bb ?? ??④ 同理得 1 12(1 )1 a aa ????⑤ ，于是 ? ? 1222 1 1 8a b a bfx a b a b??? ? ? ???? ? ???⑥ 今證明 21 1 8a b aba b ab??? ? ?⑦ , 因為 21 1 (1 )(1 )a b a ba b a b??? ? ? ? ， 只要證 (1 )(1 ) 8ab aba b ab?? ? ?，即 8 (1 )(1 )ab a b? ? ? ?，也即 7ab??，據 ③ ，此為顯然． 因此 ⑦ 得證．故由 ⑥ 得 () 2fx? ． 綜上所述，對任何正數(shù) a,x ，皆有 ? ?12fx??． 例 : 213 121111 ???????? nnn ? 解析 :一方面 : 1422141312113 12111 ????????? ????????? nnn ? (法二 )?????? ?????? ??????????? ????????? ??????????? 1113 1312113 1112113 12111 nnnnnnnnn ?? ???????? ?? ???????? ??? )13)(1( 24)2(3 24)1)(13( 2421 nn nnn nnn n ? ? ? 1)12( )12()12( 1)1()12( 1)12( 112 22222222 ???????????? ????????????? nnnnnnnnn ? 另一方面 : 212211213 12111 ????????????? nnnnnnn ? 十 、 二項放縮 nnnnnn CCC ?????? ?10)11(2 , 12 10 ???? nCC nnn , 2 22 2210 ?????? nnCCC nnnn )2)(1(2 ??? nnnn 例 44. 已知11 2 111, (1 ) .2nnna a ann?? ? ? ??證明 2nae? 解析 : ??????? )1( 1))1( 11(1 nnanna nn ??????? )1)()1( 11(11 nn anna .)1( 1))1( 11l n()1l n()1l n( 1 ????????? nnnnaa nn 111)1l n()1l n()1( 1)]1l n()1l n([ 212112 ????????????? ?? ????? naaiiaa nniiini ， 即 .133ln1)1ln ( 2eeaa nn ??????? 例 nn na )11(??，求證：數(shù)列 }{na 單調遞增且 .4?na 解析 : 引入一個結論：若 0??ab 則 )()1(11 abbnab nnn ???? ?? （證略） 整理上式得 ].)1[(1 nbanba nn ???? （ ? ） 以nbna 11,111 ?????代入（ ? ）式得 ??? ?1)111( nn .)11( nn? 即 }{na 單調遞增。11ln,1lnln,0lnlnln1,0)(lnlnln1)lnl o g()(),lnl o g)lnl o g,()(,lnl o g,0)(lnl o g1,ln1,1ln,0)(,1ln)()1(?????????????????????????????????的取值范圍是則即若所以上遞增；上遞減，在（在所以有同理：又即：由 所以不等式成立。39。 nfnS n ??? eaaaaaxxxeaaeaaaaxfaaafxfaaxfaxxfaxaaaaaxfaaxf1m i nm i n39。239。f’(xn)≥2n(2n－ 2). 解 析 : 由已知得 )0(22)( ???? x