構(gòu)造法與放縮法在不等式證明中的運(yùn)用(參考版)
2024-10-28 03:31本頁(yè)面
【正文】 2(1+215925159)=2(1+)=a+b222242對(duì)非嚴(yán)格不等式的證明，每一次的“放”或“縮”保證等號(hào)成立是一個(gè)基本的思考點(diǎn)，是放大或縮小的一個(gè)必要性要求，但它并不具有充分性。2(ab+)=2[(ab+)+]4ab4ab24ab4ab2179。2(ab++2)證法2：(a+)+(b+)179。[(a+)+(b+)]2 ab2ab1a+b2111125=[(a+b)+]=(1+)2179。抓住這一點(diǎn)不難獲得多種可行的縮小方式，組織多種證法。注意到①是非嚴(yán)格不等式，其中等號(hào)成立的條件是a=b=，因此，每一2將有左179。2b=2??????????????????③ bb2225知，②、③處的縮小量太大。?????① ab2解說(shuō)：如果直接運(yùn)用二元均值不等式縮小，即采用縮小方式a+11179。+例4： 設(shè)a、b206。nn+14n+14通過(guò)對(duì)放大方式的反復(fù)調(diào)整，終于成功了。如果將左邊每一項(xiàng)放大后能出現(xiàn)一個(gè)常數(shù)與將左邊放大后就可“交叉”相消達(dá)到求和目的，基于這種想法，考慮放大方式：11111=()，(2k+1)2(2k1)(2k+1)22k12k+1左邊使每一項(xiàng)放大后出現(xiàn)因數(shù)1。通過(guò)驗(yàn)證k的前幾個(gè)特殊值可以發(fā)現(xiàn)，(2k+1)22k+2對(duì)k=1，2，3，4成立，但對(duì)k=5，6等不成立，其根源在于忽視了“當(dāng)k增大時(shí)，指數(shù)函數(shù)2k+2比冪函數(shù)(2k+1)2增大得快”這一基本事實(shí)。問(wèn)題在于這里采用的放大方式11 2k+2(2k+1)2即(2k+1)22k+2(k206。325272(2n+1)241（k=1，2，?，n）的n項(xiàng)之和，不便于與右2(2k+1)解說(shuō)：不等式是左邊是形如邊直接比較，于是想到將左邊的每一項(xiàng)按照某種規(guī)律放大，求和后再與右邊比較，我們先看下列放大方式：11111111+++L++++L+325272(2n+1)22324252n+111111n=1[1(1)n]1。例3：求證：11111+++L+(n206。以上兩個(gè)例中的“放”或“縮”的方式都是通過(guò)對(duì)待證不等式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析才獲得的“放”或“縮”的方法。注意到①式右端需要2n+1，因此，對(duì)左端每一個(gè)因數(shù)縮小后應(yīng)含有2k1，據(jù)此便不難找到可行的縮小方式：2k2k2k2k2k+12k+1，==2k12k12k12k12k2k1于是左22+123+12(n1)+12n+12n+12n+1。能否找到一種“放”或“縮”的方式直接證明呢？顯然，待證不等式等價(jià)于22232nL2212312n12n+1??????① 2①式的左端是形如2k（k=2，3，??，n）的n1個(gè)因數(shù)的乘積。m+am+bm+c縮小，以出現(xiàn)a+b：左=本題是高中數(shù)學(xué)教材第二冊(cè)（上）（人教版）中不等式證明中的一道習(xí)題，主要利用了三角形的兩邊之和大于第三邊和不等式的一些基本性質(zhì)來(lái)對(duì)分母進(jìn)行“放”或“縮”，以達(dá)到證明的目的。例1設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，且m為正數(shù)，求證：abc+。學(xué)生在證明不等式時(shí)，常因忽視“放”或“縮”的合理性或把握不住“放”或“縮”的“度”而導(dǎo)致解題失誤甚至思維擱淺。同時(shí)在放縮時(shí)必須時(shí)刻注意放縮的跨度，放不能過(guò)頭，縮不能不及。R，求證：abc(ap+bp+cp)≥ap+2(a+b+c)+bp+2(ab+c)+cp+2(a+bc)證明：不妨設(shè)a≥b≥c＞0，于是左邊－右邊=ap+1(bc+a2abca)+bp+1(ca+b2bcab)+cp+1(ab+c2cabc)=ap+1(ab)[(ab)+(bc)]bp+1(ab)(bc)+cp+1[(ab)+(bc)](bc)=ap+1(ab)2+(ab)(bc)(ap+1bp+1+cp+1(bc)2≥(ab)(bc)(ap+1bp+1+cp+1)如果p+1≥0，那么ap+1bp+1≥0；如果p+1＜0，那么cp+1bp+1≥0，故有(ab)(bc)(ap+1bp+1+cp+1)≥0，：設(shè)0≤a≤b≤c≤1，求證：abc+++(1a)(1b)(1c)≤1b+c+1c+a+1a+b+1abca+b+c≤，再證明以 ++b+c+1c+a+1a+b+1a+b+1證明：設(shè)0≤a≤b≤c≤1，于是有下簡(jiǎn)單不等式a+b+ca+b
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