構(gòu)造法與放縮法在不等式證明中的運(yùn)用(完整版)
【正文】 m+a+bm+cm+cm+cm+cabc+于是。R+，p206。R+且abc=1求證111≤1 =+1+a+b1+b+c1+c+a證明：設(shè)a=x3,b=y3,c= x、y、z206。N+，求證：1【鞏固提高】已知a,b,c,d都是正數(shù)，s=【能力提升】求證: +...abcd+++求證:11+a+b163?！緦W(xué)法指導(dǎo)】，自學(xué)課本內(nèi)容，限時(shí)獨(dú)立完成導(dǎo)學(xué)案；，提交小組討論；—p19,【自主探究】1，放縮法：證明命題時(shí)，有時(shí)可以通過縮?。ɑ颍┓质降姆帜福ɑ颍?，或通過放大（或縮小）被減式（或）來證明不等式，這種證明不等式的方法稱為放縮法。二是利用做題來鞏固、記憶所學(xué)的定義、定理、法則、公式，形成良性循環(huán)。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可?；静襟E：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。(x)0，j(x)單調(diào)遞增，j(x)j(0)=e(0+1)=0，ex1 故當(dāng)x206。時(shí)，h39。(x)=1231。(3)證明：因?yàn)間(x)=x+xf39。)，令h(x)=1xxlnx，x206。(1)=0，因此k=1。lnx+k例2：(2012山東)（本小題滿分13分）已知函數(shù)f(x)=(k為常數(shù)，e=…是ex自然對數(shù)的底數(shù))，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行。231。123n248。231。xxx246。(x)=== 222xxx+1x因?yàn)閒(x)=x(x+1)ln(x+1),(x0)由（1）知f(x)0，而(x+1)x20 所以g39。(x)=1233。所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,0)；f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,+165。1 1+x11+x21+xn221122xnx12x21xnx12x21++L+179。x+++L+231。248。1246。232。x=，得，x206。(0,1)時(shí)，h(x)0；當(dāng)x206。)時(shí)，f39。)，所以1246。232。(x)=ex1=exe0，所以當(dāng)x206。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。二、部分方法的例題換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。N,k1)1111，22kkk(k1)k(k+1)，③利用平均值不等式，④利用函數(shù)單調(diào)性放縮。例2：設(shè)a、b、c是三角形的邊長，求證abc(bc)2+(ca)2+(ab)2≥ b+cc+aa+b1 [(ab)2+(bc)2+(ca)2]3證明：由不等式的對稱性，不防設(shè)a≥b≥c，則3abc0,3bca≥b+c+cca=b+ca0左式－右式=3abc3bca3cab(bc)2+(ca)2+(ab)2 b+ca+ca+b3bca3cab(ca)2+(ab)2 a+ba+b2(b+ca)3bca3cab(ab)2+(ab)2=(ab)2≥0 a+ba+ba+b ≥ ≥[評析]：本題中放縮法的第一步“縮”了兩個(gè)式了，有了一定的難度。33a+b23a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a)≥(3a)2(a)。學(xué)生在證明不等式時(shí)，常因忽視“放”或“縮”的合理性或把握不住“放”或“縮”的“度”而導(dǎo)致解題失誤甚至思維擱淺。注意到①式右端需要2n+1，因此，對左端每一個(gè)因數(shù)縮小后應(yīng)含有2k1，據(jù)此便不難找到可行的縮小方式：2k2k2k2k2k+12k+1，==2k12k12k12k12k2k1于是左22+123+12(n1)+12n+12n+12n+1。問題在于這里采用的放大方式11 2k+2(2k+1)2即(2k+1)22k+2(k206。+例4： 設(shè)a、b206。抓住這一點(diǎn)不難獲得多種可行的縮小方式，組織多種證法。2(1+215925159)=2(1+)=a+b222242對非嚴(yán)格不等式的證明，每一次的“放”或“縮”保證等號成立是一個(gè)基本的思考點(diǎn)，是放大或縮小的一個(gè)必要性要求，但它并不具有充分性。[(a+)+(b+)]2
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