【正文】 掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據(jù)不同題目的類(lèi)型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養(yǎng)和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。因此，使用放縮法時(shí)，如何確定放縮目標(biāo)尤為重要。在證明過(guò)程中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮，可以化繁為簡(jiǎn)、化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。(m－i+1)，Aimmm1Aimnn1mi+1ni+1=L,同理=L，mmmnnnmini由于m＜n，對(duì)于整數(shù)k=1，2，…，i－1，有nkmk，nmAinAim所以ii,即miAinniAimnm(2)由二項(xiàng)式定理有：22nn(1+m)n=1+C1nm+Cnm+…+Cnm，22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+…+Cmn，由(1)知mAini＞nAimi(1＜i≤m＜n)，而CimAimiAin,Cn== i!i!∴miCin＞niCim(1＜m＜n)00222211∴m0C0n=nCn=1，mCn=nCm=m利用基本不等式放縮例已知an=5n41對(duì)任何正整數(shù)m，n都成立.1，只要證5amn1+aman+.因?yàn)?amn=5mn4，aman=(5m4)(5n4)=25mn20(m+n)+16，故只要證5(5mn4)1+25mn20(m+n)+16+ 即只要證20m+20n37因?yàn)閍m+an=5m+5n85m+5n8+(15m+15n29)=20m+20n37，再利用基本不等式由am+、先適當(dāng)組合, 排序, 再逐項(xiàng)比較或放縮 例.已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.(1)證明：nAim＜mAin；(2)證明：(1+m)＞(1+n)iinm證明：(1)對(duì)于1＜i≤m，且Aim =m4+L+n(n+1)求證： 22122n+12證明：∵ n(n+1)n=nn(n+1)(n+)=2n+1∴ nn(n+1)1+3+L+(2n+1)n(n+1)(n+1)2an∴ 1+2+3+L+nan，∴2222n+1本題利用n，對(duì)an中每項(xiàng)都進(jìn)行了放縮，從而得到可以求和的數(shù)列，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。2+2180。(akak+1)=(a1an+1).16k=11632本題通過(guò)對(duì)因式ak+2放大，而得到一個(gè)容易求和的式子逐項(xiàng)放大或縮小229。(akak+1)ak+2k=11n11163。a3163。L.\當(dāng)k179。n11112,an+1=an,\a2=a12163。,求證：229。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。N*).2證明：由f(n)= 4n1+4n=1111 1+4n22n2211得f（1）+f（2）+…+f（n）1+11222+L+1122n 11111=n(1+++L+n1)=n+n+1(n206。N*).23a2a3an+12若多項(xiàng)式中加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，多項(xiàng)式中加上一些負(fù)的值，多項(xiàng)式的值變小。.,k=1,2,...,n, ak+12122(2k+11)+2k2232k\aa1a2n1111n11n1++...+n179。N*).求證：an1a1a2++...+n(n206。下面結(jié)合一些高考試題，例談“放縮”的基本策略?！胺趴s法”它可以和很多知識(shí)內(nèi)容結(jié)合，對(duì)應(yīng)變能力有較高的要求。N*)+11132+52+......+(2n1)2321115：1+2+2+......+235(2n1)4常見(jiàn)的放縮技巧總結(jié)：第五篇：放縮法(不等式、數(shù)列綜合應(yīng)用)“放縮法”證明不等式的基本策略近年來(lái)在高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，而不等式的證明是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，它可以考察學(xué)生邏輯思維能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。N*)1+12+115232+......+n24(n206。N*)：1+2+2+......+22(n206。7+L+11(2n1)(2n+1)2：n12n+122+32+......+n2n(n206。3+13180。n+2（2）證明：1a1+1a+.......+111+2+1an+12：12+1+23n22+2+23+3+.......+2n+n2(n206。1,n206。N*)例４.（２００２全國(guó)卷理２２題７題）第２問(wèn)已知數(shù)已知數(shù)列列（（）{an}滿(mǎn)足an+1=an2nan+1,n=1,2,3.......當(dāng)a1179。a1252。237。N*)2222：1+12+1+11223+1+......+2n+11(n206。3+...+n(n+1)p變式：(n206。N*)22n(n+1)n(n+3)p12+21）(n206。N*)anN*)２．等比數(shù)列的和：an=k一．放縮法證明不等式的理論依據(jù)： １．不等式的傳遞性：２．同向不等式的可加性：３．同向的正數(shù)不等式的可乘性：二．常見(jiàn)的數(shù)列求和的方法及公式特點(diǎn)： １．等差數(shù)列的和。由于放縮法靈活多變，技巧性要求較高，所謂“放大一點(diǎn)點(diǎn)太大，縮小一點(diǎn)點(diǎn)太小”。N)nn1n01法1：2=Cn+Cn+...+Cn+Cn；法2：數(shù)學(xué)歸納法 法3：函數(shù)法（求導(dǎo)），證明：()+()+…+（nn*nnn1n)+（nnn)nee1提示:借助e179。ln(n+2)ln2 n+1248。1xdx=lnxn+22法3：數(shù)歸證明：、（1）求證：2n++L+246。1232。232。247。230。ln(n+2)ln2 n+1248。2246。230。L180。230。ln180。n+1248。n+2246。234nn+1232。247。nln+ln+ln+L+ln+ln247。246。1∴n231。n+1n+1248。ln231。20，則1246。又∵x0時(shí)，有xln(1+x)，令x=1n+1230。23n+1n+1232。1=n231。an=．（3）法1：a1+a2+L+an=111+1+112+1+L+111246。an1254。1=2，公差為1，是等差數(shù)列，首項(xiàng)為253。236。ln(1+x)163。(0)=0，即x=0是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)f(x)=ln(1+x)x163。(x)0，即y=f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x0時(shí)，f39。x；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）求證不等式：a1+a2+L+ann+ln2ln(n+2)． 解：（1）f(x)=ln(1+x)x，f39。i=1ai(ai1)2+++L+n1=2+(112)=3n1n1法3：數(shù)歸證\229。22ii1.(i179。ai(ai1)=1方法一：ai(ai1)=ni2121iii(21)(22)=ii1i1(21)(21)=i11121i.\229。Qan+11=an(an1)\1an+111an1a1=1an11an\=1an11a21an+111a2006\++L+=（1a1111a211)+（1a211a31)+L+（1a200611a20071)=a11a200711=1a1a2La20061又a1a2La2006a12006=22006\11a1a2La200612006\原不等式得證。解：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。N，有an+1=anan1La2a1+1成立。N恒有an+1an成立。n==法2：放縮后裂項(xiàng)求和an=21212n+1n1（=212(21nn)1=n+1=121(2n+1n1)(21)n=21nn+11)法3：數(shù)歸，但是直接去證是不行的，要轉(zhuǎn)化為一個(gè)加強(qiáng)命題4．定義數(shù)列如下：a1=2,an+1=anan+1,n206。N+)，求證：229。3)(k179。n+kn1k!163。k(k1)k(k+1)2,k206。1233。2)Sn=54++L+1n（11+2)+111111111(++L++)22435n2nn1n+1+1111151115(+)+(+)=.223nn+142233放縮三：1n1n=(n+112)(n12)=（1n1n+12)=2（12n112n+1),(n179。N)++L+1n1n31n11n法1：放縮一：n(n1)=(n179。2121248。1n+1247。180。i=1Ti=313230。2121248。nn+1247。180。2n+1+=(2n+11)(21)nSn(2n+11)(21)=1230。180。2nn+1+3(n=1,2,3,L)n（Ⅰ）求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)an；（Ⅱ）設(shè)Tn=an=42nn2Sn(n=1,2,3,L)，證明：229。即錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。間插入錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式； ②在錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）若錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。其中n∈N*．（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）若存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)一切n∈N*，有bn≤λ≤，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 【答案】（1）＝1．（2）．已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}，{}滿(mǎn)足(n＋1)bn＝an＋1錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。其中錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。為減函數(shù)，錯(cuò)