新人教a版高中數(shù)學(xué)選修1-134生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例(參考版)
2024-12-12 01:49本頁(yè)面
【正文】 2 x ＝－ 500＋16007002 ?x x， 令 y′＝ 0，解得 x ＝ 3650 ． 答：水 廠距甲距離為 50－ 3650 千米時(shí)，總費(fèi)用最?。? 【點(diǎn)評(píng)】 當(dāng)要求的最大（?。┲档淖兞?y 與幾個(gè)變量相關(guān)時(shí)，我們總是先設(shè)幾個(gè)變量中的一個(gè)為x，然后再根據(jù)條件 x 來(lái)表示其他變量，并寫(xiě)出 y 的函數(shù)表達(dá)式 f（ x）． 。 （ 1）、如果 C(x)＝ 1 0 0 050 0 236 ???? xxx ，那么生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時(shí)，邊際)(xC? 最低？ (邊際成本：生產(chǎn)規(guī)模增加一個(gè)單位時(shí)成本的增加量 ) （ 2）、如果 C(x)=50x＋ 10000，產(chǎn)品的單價(jià) P＝ 100－ ，那么怎樣定價(jià)，可使利潤(rùn)最大？ 變式： 已知某商品生產(chǎn)成本 C與產(chǎn)量 q的函數(shù)關(guān)系式為 C=100+4q，價(jià)格 p 與產(chǎn)量 q 的函數(shù)關(guān)系式為 qp 8125?? ．求產(chǎn)量 q為何值時(shí)，利潤(rùn) L最大？ 分析：利潤(rùn) L等于收入 R減去成本 C，而收入 R等于產(chǎn)量乘價(jià)格．由此可得出利潤(rùn) L與產(chǎn)量 q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤(rùn)． 解：收入 2112 5 2 588R q p q q q q??? ? ? ? ? ?????， x60 2 x60 2 x60 2 xx60 2 x6060 利潤(rùn) 22112 5 ( 1 0 0 4 ) 2 1 1 0 088L R C q q q q q??? ? ? ? ? ? ? ? ?????(0 100)q?? 1 214Lq??? ? 令 0L?? ，即 1 21 04 q? ? ?，求得唯一的極值點(diǎn) 84q? 奎屯王新敞 新疆 答：產(chǎn)量為 84 時(shí)，利潤(rùn) L 最大 奎屯王新敞 新疆 例 7． 一 條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時(shí)，希望在斷面 ABCD的面積為 定值 S 時(shí)，使得濕周 l=AB+BC+CD 最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時(shí)的高 h 和下底邊長(zhǎng) b. 解：由梯形面積公式，得 S=21 (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC， DE= 33 h,BC=b ∴ AD= 332 h+b, ∴ S= hbhhbh )33()23 32(21 ??? ① ∵ CD= hh3230cos ??,AB=CD.∴ l= h32 2+b ② 由①得 b= 33?hS h,代入② ,∴ l= hShhhSh ???? 3333 34 l′ =23 hS?=0,∴ h=43S, 當(dāng) h43S時(shí)， l′ 0,h43S時(shí)， l′ 0. ∴ h=43S時(shí)， l 取最小值，此時(shí) b= S3324 例 8． 已知矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)位于 x 軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線 y ＝ 4－ x2 在 x 軸上方的曲線上，求這種矩形中面積最大者的邊長(zhǎng)． 【解】設(shè)位于拋物線上的矩形的一個(gè)頂點(diǎn)為（ x， y），且 x ＞ 0， y ＞ 0， 則另一個(gè)在拋物線上的頂點(diǎn)為（－ x， y） 在 x 軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為（－ x， 0）、（ x， 0），其中 0＜ x ＜ 2． 設(shè)矩形的面積為 S，則 S ＝ 2 x（ 4－ x2）， 0＜ x ＜ 2． 由 S′ （ x）＝ 8－ 6 x2＝ 0，得 x ＝ 332 ，易知 x ＝ 34 是 S 在（ 0， 2）上的極值點(diǎn)， 即是最大值點(diǎn)， 所以這種矩形中面積最大者的邊長(zhǎng)為 332 和
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