新人教a版高中數(shù)學(xué)選修1-134生活中的優(yōu)化問題舉例-閱讀頁
2024-12-28 01:49本頁面
【正文】 系，汽油的消耗量 w 是汽車速度 v 的函數(shù)．根據(jù)你的生活經(jīng)驗，思考下面兩個問題： （ 1）是不是汽車的速度越快，汽車的消耗量越大？ （ 2）“汽油的使用率最高”的含義是什么？ 分析： 研究汽油的使用效率（單位： L/m）就是研究秋游消耗量與汽車行駛路程的比值．如果用 G 表示每千米平均的汽油消耗量，那么 wGs?，其中， w 表示汽油消耗量（單位： L），s 表示汽 油行駛的路程（單位： km）．這樣，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求 G的最小值的問題． 通過大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、研究，人們發(fā)現(xiàn)，汽車在行駛過程中，汽油平均消耗率 g （即每小時的汽油消耗量，單位： L/h）與汽車行駛的平均速度 v （單位：km/h）之間有如圖所示的函數(shù)關(guān)系 ? ?g f v? ． 從 圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問題．因此，我們首先需要將問題轉(zhuǎn)化為汽油平均消耗率 g （即每小時的汽油消耗量，單位： L/h）與汽車行駛的平均速度 v（單位： km/h）之間關(guān)系的問題，然后利用圖像中的數(shù)據(jù)信息，解決汽油使用效率最高的問題． 解：因為 wwgtGssvt? ? ? 這樣，問題就轉(zhuǎn)化為求 gv 的最小值．從圖象上 看， gv 表示經(jīng)過原點與曲線上點的直線的斜率．進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線與曲線相切時，其斜率最小．在此切點處速度約為 90 /kmh ． 因此，當(dāng)汽車行駛距離一定時，要使汽油的使 用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此時的車速約為 90 /kmh ．從數(shù)值上看，每千米的耗油量就是圖中切線的斜率，即 ? ?90f? ，約為 L． 例 5． 在 邊長 為 60 cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折 起(如圖 )，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少？ 解法一 ：設(shè)箱底邊長為 xcm ， 則 箱 高_(dá) x _ x _ 60 _ 60 x x 602 xh ?? cm，得箱子容積 260)( 322 xxhxxV ??? )600( ?? x ． 23( ) 60 2xV x x? ?? )600( ?? x 令 23( ) 60 2xV x x? ??＝ 0，解得 x=0（舍去）， x=40， 并求得 V(40)=16 000 由題意可知，當(dāng) x過小（接近 0）或過大（接近 60）時，箱子容積很小，因此， 16 000是最大值 奎屯王新敞 新疆 答：當(dāng) x=40cm時，箱子容積最大，最大容積是 16 000cm3 解法二 ：設(shè)箱高為 xcm，則箱底長為 (602x)cm，則得箱子容積 xxxV 2)260()( ?? )300( ?? ．（后面同解法一，略） 由題意可知，當(dāng) x過小或過大時箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點處． 事實上 ，可導(dǎo)函數(shù) 260)( 322 xxhxxV ??? 、 xxxV 2)260()( ?? 在各自的定義域中都只有一個極值點，從圖象角度理解即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點就是最值點，不必考慮端點的函數(shù)值 奎屯王新敞 新疆 例 6． 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，生產(chǎn) x單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)同，記為 C(x)，出售 x單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù)，記為 R(x)， R(x)－ C(x)稱為利潤函數(shù)，記為 P(x)。 21 (x 2＋ 1600) 21? 18
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