新人教a版高中數(shù)學(xué)選修1-134生活中的優(yōu)化問題舉例(完整版)
【正文】 60 2 xx60 2 x6060 利潤 22112 5 ( 1 0 0 4 ) 2 1 1 0 088L R C q q q q q??? ? ? ? ? ? ? ? ?????(0 100)q?? 1 214Lq??? ? 令 0L?? ，即 1 21 04 q? ? ?，求得唯一的極值點 84q? 奎屯王新敞 新疆 答：產(chǎn)量為 84 時，利潤 L 最大 奎屯王新敞 新疆 例 7． 一 條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時，希望在斷面 ABCD的面積為 定值 S 時，使得濕周 l=AB+BC+CD 最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時的高 h 和下底邊長 b. 解：由梯形面積公式，得 S=21 (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC， DE= 33 h,BC=b ∴ AD= 332 h+b, ∴ S= hbhhbh )33()23 32(21 ??? ① ∵ CD= hh3230cos ??,AB=CD.∴ l= h32 2+b ② 由①得 b= 33?hS h,代入② ,∴ l= hShhhSh ???? 3333 34 l′ =23 hS?=0,∴ h=43S, 當(dāng) h43S時， l′ 0,h43S時， l′ 0. ∴ h=43S時， l 取最小值，此時 b= S3324 例 8． 已知矩形的兩個頂點位于 x 軸上，另兩個頂點位于拋物線 y ＝ 4－ x2 在 x 軸上方的曲線上，求這種矩形中面積最大者的邊長． 【解】設(shè)位于拋物線上的矩形的一個頂點為（ x， y），且 x ＞ 0， y ＞ 0， 則另一個在拋物線上的頂點為（－ x， y） 在 x 軸上的兩個頂點為（－ x， 0）、（ x， 0），其中 0＜ x ＜ 2． 設(shè)矩形的面積為 S，則 S ＝ 2 x（ 4－ x2）， 0＜ x ＜ 2． 由 S′ （ x）＝ 8－ 6 x2＝ 0，得 x ＝ 332 ，易知 x ＝ 34 是 S 在（ 0， 2）上的極值點， 即是最大值點， 所以這種矩形中面積最大者的邊長為 332 和 38 ． 【點評】 應(yīng)用題求解，要正確寫出目標(biāo)函數(shù)并明確題意所給的變量制約條件．應(yīng)用題的分析中如 確定有最小值，且極小值唯一，即可確定極小值就是最小值． 練習(xí)： 1： 一書店預(yù)計一年內(nèi)要銷售某種書 15萬冊，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費 30元，每千冊書存放一年要耗庫費 40 元，并假設(shè)該書均勻投放市場，問此書店分幾次進貨、每次進 多少冊，可使所付的手續(xù)費與庫存費之和最少？ 【解】假設(shè)每次進書 x 千冊，手續(xù)費與庫存費之和為 y 元， 由于該書均勻投放市場，則平均庫存量為批量之半，即2x，故有 y ＝x150 30＋2x 40， y′ ＝－24500x＋ 20， 令 y′ ＝ 0，得 x ＝ 15，且 y″ ＝39000x， f″ (15)＞ 0， 所以當(dāng) x ＝ 15 時， y 取得極小 值，且極小值唯一， 故 當(dāng) x ＝ 15 時， y 取得最小值，此時進貨次數(shù)為 15150 ＝ 10（次）． 即該書店分 10 次進貨，每次進 15000 冊書，所付手續(xù)費與庫存費之和最少． 2： 有甲、乙兩城，甲城位于一直線形河岸，乙城離岸 40千米，乙城到岸的垂足與甲城相距 50 千米，兩城在此河邊合設(shè)一水廠取水，從水廠到甲城和乙城
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