新人教a版高中數(shù)學(xué)選修1-134生活中的優(yōu)化問題舉例-wenkub
2022-12-19 01:49:42 本頁面
【正文】 路： 2． 解決優(yōu)化問題的方法： 通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化 方案，使問題得到解決．在這個過程中，導(dǎo)數(shù)往往是一個有利的工具 。 2 x ＝－ 500＋16007002 ?x x， 令 y′＝ 0，解得 x ＝ 3650 ． 答：水 廠距甲距離為 50－ 3650 千米時，總費用最省． 【點評】 當要求的最大（?。┲档淖兞?y 與幾個變量相關(guān)時，我們總是先設(shè)幾個變量中的一個為x，然后再根據(jù)條件 x 來表示其他變量，并寫出 y 的函數(shù)表達式 f（ x）． 。 （ 1）、如果 C(x)＝ 1 0 0 050 0 236 ???? xxx ，那么生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時，邊際)(xC? 最低？ (邊際成本：生產(chǎn)規(guī)模增加一個單位時成本的增加量 ) （ 2）、如果 C(x)=50x＋ 10000，產(chǎn)品的單價 P＝ 100－ ，那么怎樣定價，可使利潤最大？ 變式： 已知某商品生產(chǎn)成本 C與產(chǎn)量 q的函數(shù)關(guān)系式為 C=100+4q，價格 p 與產(chǎn)量 q 的函數(shù)關(guān)系式為 qp 8125?? ．求產(chǎn)量 q為何值時，利潤 L最大？ 分析：利潤 L等于收入 R減去成本 C，而收入 R等于產(chǎn)量乘價格．由此可得出利潤 L與產(chǎn)量 q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤． 解：收入 2112 5 2 588R q p q q q q??? ? ? ? ? ?????， x60 2 x60 2 x60 2 xx60 2 x6060 利潤 22112 5 ( 1 0 0 4 ) 2 1 1 0 088L R C q q q q q??? ? ? ? ? ? ? ? ?????(0 100)q?? 1 214Lq??? ? 令 0L?? ，即 1 21 04 q? ? ?，求得唯一的極值點 84q? 奎屯王新敞 新疆 答：產(chǎn)量為 84 時，利潤 L 最大 奎屯王新敞 新疆 例 7． 一 條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時，希望在斷面 ABCD的面積為 定值 S 時，使得濕周 l=AB+BC+CD 最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時的高 h 和下底邊長 b. 解：由梯形面積公式，得 S=21 (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC， DE= 33 h,BC=b ∴ AD= 332 h+b, ∴ S= hbhhbh )33()23 32(21 ??? ① ∵ CD= hh3230cos ??,AB=CD.∴ l= h32 2+b ② 由①得 b= 33?hS h,代入② ,∴ l= hShhhSh ???? 3333 34 l′ =23 hS?=0,∴ h=43S, 當 h43S時， l′ 0,h43S時， l′ 0. ∴ h=43S時， l 取最小值，此時 b= S3324 例 8． 已知矩形的兩個頂點位于 x 軸上，另兩個頂點位于拋物線 y ＝ 4－ x2 在 x 軸上方的曲線上，求這種矩形中面積最大者的邊長． 【解】設(shè)位于拋物線上的矩形的一個頂點為（ x， y），且 x ＞ 0， y ＞ 0， 則另一個在拋物線上的頂點為（－ x， y） 在 x 軸上的兩個頂點為（－ x， 0）、（ x， 0），其中 0＜ x ＜ 2． 設(shè)矩形的面積為 S，則 S ＝ 2 x（ 4－ x2）， 0＜ x ＜ 2．
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