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正文內(nèi)容

0均值不等式的常見題型(參考版)

2024-10-27 08:34本頁面
  

【正文】 用歸納假設(shè)下面介紹個好理解的方法琴生不等式法琴生不等式:上凸函數(shù)f(x),x1,x2,...xn是函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意n個點,則有:f≥1/n*設(shè)f(x)=lnx,f(x)為上凸增函數(shù)所以,ln≥1/n*=ln即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)在圓中用射影定理證明(半徑不小于半弦)。那么當(dāng)n=k+1時,不妨設(shè)a(k+1)是a1,a2,…,a(k+1)中最大者,則ka(k+1)≥a1+a2+…+ak。當(dāng)n=2時易證。注:引理的正確性較明顯,條件A≥0,B≥0可以弱化為A≥0,A+B≥0,有興趣的同學(xué)可以想想如何證明(用數(shù)學(xué)歸納法)。(a1a2...an)^(1/n)(當(dāng)r=0時)(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))則有:當(dāng)r注意到Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特殊情形,即D(1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上簡化,有一個簡單結(jié)論,中學(xué)常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√方法很多,數(shù)學(xué)歸納法(第一或反向歸納)、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用數(shù)學(xué)歸納法證明,需要一個輔助結(jié)論。417xy)/4xy=(14xy)(4xy)/4xy≥0∴xy+1/xy≥17/4試問怎樣叫“利用均值不等式證明”,是說只能用均值不等式不能穿插別的途徑?!二、已知abc,求證:1/(ab)+1/(bc)+1/(ca)0ac=(ab)+(bc)≥2√(ab)*(bc)于是ca≤2√(ab)*(bc)即:1/(ca)≥1/【2√(ab)*(bc)】那么1/(ab)+1/(bc)+1/(ca)≥1/(ab)+1/(bc)1/【2√(ab)*(bc)】≥2/【√(ab)*(bc)】1/【2√(ab)*(bc)】=(3/2)/【2√(ab)*(bc)】0三、調(diào)和平均數(shù):Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)幾何平均數(shù):Gn=(a1a2...an)^(1/n)算術(shù)平均數(shù):An=(a1+a2+...+an)/n平方平均數(shù):Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n這四種平均數(shù)滿足Hn≤Gn≤An≤Qn的式子即為均值不等式。17xy+4≥0即證(4xy1)(xy4)≥0即證xy≥4,xy≤1/4而x,y∈R+,x+y=1顯然xy≥4不可能成立∵1=x+y≥2√(xy)∴xy≤1/4,得證法三:∵同理0xy+1/xy17/4=(4x178。當(dāng)n=2時易證;假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立,即那么當(dāng)n=k+1時,不妨設(shè)ak+1是則設(shè)a1,a2,L,ak+1中最大者,kak+1179。引理:設(shè)A≥0,B≥0,則(A+B)179。ab+bc+aca+b+c179。2ab179。2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號),a,b02ab(4)對實數(shù)a,b,有a(ab)179。QnL、anaa206。Gn163。但用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”,說起來容易做起來難,學(xué)生還得通過反思和課后訓(xùn)練進(jìn)一步體會。八、效果分析:本節(jié)課采取了我校推行的“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學(xué)模式,通過學(xué)案導(dǎo)學(xué),多媒體展示,師生互動,生生互動。通過作業(yè)使學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容,注重分層次設(shè)計題目,更加關(guān)注學(xué)生的差異。(一)、雙基達(dá)標(biāo)(必做,獨立完成):課本第71頁練習(xí)A、B;已知x1,求y=x+6+x+1的最值;(二)、拓展提高(供選做, 可小組合作完成):+2若a,b206。a,b206。2ab(a,b206。若有必要,抽派小組代表到講臺上講解,及時反饋矯正。本題若直接運用均值不等式不會出現(xiàn)定值,需要拼湊。2.(小組合作探究)一扇形中心角為α,所在圓半徑為R。先和學(xué)生們一起探討該問題的解題思路,先拆分再提出“”號,為使用均值定理創(chuàng)造條件,后由學(xué)生們獨立完成,教師通過巡視或提問發(fā)現(xiàn)問題,通過多媒體演示來解決問題,該例題主要讓學(xué)生注意定理的應(yīng)用條件及一些
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