【正文】 。 此外，我要感謝與我一起生活和學(xué)習(xí)的各位同學(xué)，成文期間許多同學(xué)為我的論文提供了寶貴的建議。非線性生物動(dòng)力系統(tǒng) [M].北京：科學(xué)出版社， 1993 [12]Gao Shujing ,Chen Lansun. Dynamic plexities in a singlespecies discrete population model with stage structure and birth pulses [J].Chaos Solitons＆ .Ftactals,20xx,23:519527 [13] Gao Shujing ,Chen Lansun. Dynamic plexities in a singlespecies discrete population model with stage structure and birth pulses [J].Chaos Solitons＆ .Ftactals,20xx,24:10131023 [14]李建全，馬知恩。61:803833 [5]劉輝，李海。128:93130 [3]Wu L I,Feng bifurcation in an SIQR model for childhood disease[J].J Differential Equations,20xx。 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 24 參考文獻(xiàn) [1]Hethcote H W. The mathematics of infectious disease [J].SIAM 。本文僅僅考慮了一類簡(jiǎn)單的傳染病模型。 模型為 ? ?? ?S b N d S S I I QI S I d IQ I d Q? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 通過對(duì)這個(gè)帶有隔離項(xiàng)的模型研究，本文證明了模型的平衡點(diǎn)的存在性和它的漸近穩(wěn)定性。 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 23 結(jié) 論 按照傳染病傳播的一般規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)的方法研究這個(gè)模型，進(jìn)而提出有效的預(yù)防傳染病蔓延的手段是當(dāng)今傳染病研究的一個(gè)熱點(diǎn)問題具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。 而平衡點(diǎn) 1X? ，在 b dd ?? ? ? ??? ? ? ? ??時(shí) 是不 穩(wěn)定的 ，在 b dd ?? ? ? ??? ? ? ? ?? 時(shí)是漸近穩(wěn)定的 。 當(dāng) b dd ?? ? ? ??? ? ? ? ??時(shí) 2 1?? 則系統(tǒng)不確定是否穩(wěn)定。 則 1 1?? 當(dāng) b dd ?? ? ? ??? ? ? ? ?? 時(shí) 2 1?? 則根據(jù)定理如果 ? ? 1A? ? ? ? ? ?,0g x o x x??則方程的零解不是穩(wěn)定的。 則根據(jù)平衡點(diǎn)1 ,0bX d ??? ?????????的雅可比矩陣。如果線性系統(tǒng)的零解是一致漸近穩(wěn)定的，那么非線性系統(tǒng)的零解是成指數(shù)穩(wěn)定的。 令模型中 nS 表示易感人群 在總?cè)巳褐械谋壤?nI 為已經(jīng)感染的人群在總?cè)巳旱谋壤?nQ為已經(jīng)染病并且被隔離的人群在總?cè)巳褐械谋壤? 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 20 4 模型求解 求平衡 點(diǎn) 我們建立 的模型是 ? ?? ?n n n n n n nn n n nn n nS b N d S S I I QI S I d IQ I d Q? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 首先對(duì)已經(jīng) 建立 的模型把它轉(zhuǎn)化為差分方程。 d 為正常死亡率。 S Q N I I? bN Q? I? dS ? ?dI?? ? ?dQ?? SI? 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 19 ? ?? ?n n n n n n nn n n nn n nS b N d S S I I QI S I d IQ I d Q? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 傳染病患者能傳染給易感人群的數(shù)目與此環(huán)境中的未隔離的易感人群所占的比例成正比。當(dāng)引入隔離后，總種群（ N）分為由易感個(gè)體組成的子種群（ S），由已經(jīng)染病的個(gè)體組成的子種群（ I）和由已經(jīng)染病并且被隔離的個(gè)體組成的子總?cè)海?Q）。這時(shí)相應(yīng)的傳染病模型稱為 SIS模型。設(shè)總種群（ N）分為易感類（ S）和染病類（ I）。 0 0nn??， ? ? 0hn?如果 010( ) ( ) ( ) ( )njnz n M z n h j z j??????????? 那么對(duì)于任意 0M? 有 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 17 ? ?0100( ) ( ) 1 ( ) ,njnz n z n M h j n n??? ? ?? 0100( ) ( ) e xp ( ) ,njnz n z n M h j n n??????????? 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 18 3 建立模型 假設(shè)在種群中無傳染病存在時(shí)，總?cè)?的增長(zhǎng)規(guī)律就是種群總數(shù)與出生率和正常死亡率差的乘積。 若 ? ? 1A? ? 且 ? ? ? ?,0g x o x x??，則方程 ? ?256?? 的零解不是穩(wěn)定的。 推論 果 ? ?01f ? ，那么方程 ? ?2 5 5?? 的零解是成指數(shù)穩(wěn)定的。從而憑借方程 ? ?2 5 12?? ，我們可知 ? ?2 5 1?? 是成指數(shù)穩(wěn)定的。如果線性系統(tǒng) ? ?2 5 2?? 的零解是一致漸近穩(wěn)定的，那么非線性系統(tǒng) ? ?2 5 1?? 的零解是成指數(shù)穩(wěn)定的。 我們注意當(dāng) 0x?? 時(shí)，有： ( , ( ) ) ( , ( ) ) ( , 0 ) ( ) ( , ( ) ) ( ) ( )g n y n f n y n D f n y n f n y n A n y n? ? ? ? 使得系統(tǒng) ? ?2 5 3?? 在特殊情況下是一個(gè)自治系統(tǒng)。從假設(shè)我們能得到結(jié)論 ? ? ? ?,0g n y o y??。我們把 f 寫成 ? ?12, Tkf f f f? 的形式則會(huì)有 : 1 1 1122 2 212012( , 0 ) ( , 0 ) ( , 0 )...( , 0 ) ( , 0 ) ( , 0 )...( , ) ( , 0 )( , 0 ) ( , 0 ) ( , 0 )...kkyk k kkf n f n f ny y yf n f n f nf n y f ny y yyyf n f n f ny y y?? ? ?????? ? ?? ? ??? ??? ? ???????? ? ?? ? ??? 為了方便起見， *( , )f nxk x? ? 被記為 ? ?,Df nx? ,將 ( ) ( )y n x n x??? ? ?2 5 4?? 代人 ? ?2 5 4?? 中則有： * * *( 1 ) ( , ( ) ) ( , ) ( ) ( , ( ) )fy n f n y n x x n x y n g n y nx?? ? ? ? ? ?? 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 15 其中 * * *( , ( ) ) ( , ( ) ) ( , ) ( )fg n y n f n y n x x n x y nx?? ? ? ? ?。 線性漸近穩(wěn)定 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 14 ( 1 ) ( ) ( ) ( , ( ) )y n A n y n g n y n? ? ? ? ?2 5 1?? 它的線性分量為； ( 1) ( ) ( )z n A n z n?? ? ?2 5 2?? 其中 ??An 是一個(gè) kk? 的矩陣，對(duì)于任意 n 是屬于 Z? ，函數(shù) :,kkg Z G R G R? ? ? ?，是一個(gè)連續(xù)的函數(shù)。則系統(tǒng) ? ?244?? 相應(yīng)的初始條件就是? ? 1000y y P x??? 。 ???????????共軛復(fù)數(shù)的特征值。 1200? ???????不同的實(shí)數(shù)特征值。 讓 1J P AP?? 是 A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型。因此任何平衡點(diǎn) 0x?? 穩(wěn)定的性質(zhì)與平衡點(diǎn) 0x?? 是相同的。則如圖 28。另一方面，如果 ? ?AI? 是奇異的。所以