【正文】 ................................ 9 自治線性系統(tǒng) ........................................................................................ 10 相空間分析 ....................................................................................................... 12 線性漸近穩(wěn)定 ................................................................................................... 13 3 建立模型 ..................................................................................................................... 18 4 模型求解 ..................................................................................................................... 20 求平衡點(diǎn) ........................................................................................................... 20 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 ............................................................................................... 21 結(jié) 論 ............................................................................................................................. 23 參考文獻(xiàn) ......................................................................................................................... 24 致 謝 ......................................................................................................................... 25 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 1 1 引 言 在世界迅速的全球化的今天，傳染病仍 是當(dāng)今世界范圍內(nèi)引起人類死亡的主要原因，而新傳染病（甲型 H1N1 流感， AIDS 病， SARS）的出現(xiàn)、舊傳染?。ㄐ圆　⒔Y(jié)核）的復(fù)蘇，均構(gòu)成了對(duì)人類健康的巨大威脅。傳染病動(dòng)力學(xué)的模型與研究于 20 世紀(jì)中葉開始蓬勃的發(fā)展。用系統(tǒng)分析的方法對(duì)生態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行全面的 分析，建立數(shù)學(xué)模型，找出物質(zhì)生產(chǎn)、能量流轉(zhuǎn)和價(jià)值流向的定量規(guī)律，對(duì)生態(tài)系統(tǒng)實(shí)行管理、預(yù)測(cè)和調(diào)控，使其持續(xù)穩(wěn)定發(fā)展已成為現(xiàn)代生態(tài)學(xué)研究的重要課題和前沿領(lǐng)域之一。模型一般適用于由細(xì)菌引起的傳染病。 ? ?2 1 1?? ，我們可以推斷，任何范數(shù) ? ?AA? ? ? ?213?? 其中 ? ? ? ?m a x :AA? ? ?? 是 的 特 征 值譜半徑的特征值 A?；叵胍幌?，在以前，我們處理的 存在性和唯一線性系統(tǒng)解決方案，這個(gè)情況下 解 的存在性和唯一 性 。 （三） 漸近穩(wěn)定性，如果它是穩(wěn)定和漸近的，且均勻漸近穩(wěn)定，如果是均勻穩(wěn)定和均勻漸近 。 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 6 圖 22 在相空間中的穩(wěn)定平衡 圖 43 穩(wěn)定平衡 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 7 圖 24 一致漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn) 圖 穩(wěn)定性概念層次 在圖 23 中， 表示時(shí)間 n 是一個(gè)三維坐標(biāo)系統(tǒng)的一部分，并且提供了另一種視角的穩(wěn)定 。 定理 。 下面的例子是對(duì)定義的說明。 （三） 零 解是漸近穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng) ? ?01lim 0nn inai??? ??? ? ?2 2 8?? 這種情況清楚地認(rèn)為，如果 ? ? 12iai i?? ? 。 定理 。然后它的解 是 （一） 穩(wěn)定 的 當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)正的常數(shù) M，使得 ? ?nM??當(dāng) 0 0nn?? ? ?232?? （二） 一致 穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)正的常數(shù) M，使得該 ? ?,n m M??當(dāng) 0n m n? ? ?? ? ?2 3 3?? （三） 漸近穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng) ? ?lim 0n n?? ?? ? ?234?? （四） 一致漸近穩(wěn)定，當(dāng)且僅當(dāng)存在正常數(shù) M 和 ? ?0,1?? ，使得： ? ?, nmn m M? ???當(dāng) 0n m n? ? ?? ? ?2 3 5?? 推論 。 定理 。如果 A 是一 條雙曲線，則下列說法成立： （一） 如果 ??xn是 ? ?2 3 6?? 的解在 ? ?0 sxW? 中，然后對(duì)于每個(gè) n 中， ? ? sx n W? 。則 0x?? 是 ? ?2 4 1?? 這個(gè)一系統(tǒng)的唯一平衡點(diǎn)。則 J 具有下列的一種形式。 ( 1) ( , ( ))x n f n x n?? ? ?2 5 3?? 其中 :,kkf Z G R G R? ? ? ?，在平衡點(diǎn) y? 處是連續(xù)可微的，現(xiàn)在我們用線性化方法描述一下系統(tǒng) ? ?2 5 3?? 。 證明：給出 ? ? ? ?0,nmn m M n m n? ?? ? ? ?和由 常數(shù)變化得到的 010 0 0 0( , , ) ( , ) ( , 1 ) ( )nrny n n y n n y n r g r??? ? ? ? ??可以將 方程 ? ?256?? 寫成 010 0 0 0( , , ) ( , ) ( , 1 ) ( , ( ) )njny n n y n n y n j g j y j??? ? ? ? ?? 從而 001() 1 ( )0( ) ( , ( ) )nnn njjny n M y M g j y j? ? ??? ????? ? ? ?2 5 10?? 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 16 對(duì)于給定的 0?? ， 0?? 有 ? ?,g j y y?? ，只要 ? ?,g j y y?? ，方程 ? ?2 5 10?? 就能變?yōu)? 001 10( ) ( )nnnjjny n M y y j? ? ????? ? ??????????? ? ?2 5 11?? 令 ? ? ? ?nz n y n??? ，然后 用 Gronwall 不等式 將方程轉(zhuǎn)化為 001 10( ) 1nnnjny n y M? ? ??????? ???? ??? 從而有， 00( ) ( ) nny n y M?? ??? ? ?2 5 12?? 令 ? ?1M?? ?? ，則 1M????。 在傳染病存在于種群中的時(shí)候。其中 ? 為疾病的傳播系數(shù)， b 為出生率， ? 為染病者的恢復(fù)率， ? 為染病率和被隔離的因病死亡率， ? 為隔離者的恢復(fù)率， ? 為對(duì)染病者的隔離率。則我們就可 以稱平衡點(diǎn) 2X? 是漸近穩(wěn)定的。在 b dd ?? ? ? ??? ? ? ? ?? 時(shí) 不能確定它是否穩(wěn)定。42:599653 [2]Feng Z,Thieme H outbreaks of childhood disease impact of isolation[J].Math Biosci,1995。 最后，衷心地感謝在百忙之中抽出時(shí)間審閱本論文的各位專家教授。 Maple 符號(hào)處理及應(yīng)用 [M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社， 20xx [6]馬知恩，周義倉(cāng)，王穩(wěn)地，靳禎．傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究 [M]．北京：科學(xué)出版社， [7]馬知恩種群生態(tài)學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究 [M]合肥 ,安徽教育出版社， 1996 [8]余賀，龍振洲．醫(yī)學(xué)微生物學(xué) [M]．北京：人民衛(wèi)生出版社， 1985； 106108 [9]Allen L J S, Jones M A, Martin C discretetime model with vaccination for a measles epidemic [J]. Mathematical Biosciences,1991,105:111131 [10] Al