11-17屆高考全國ⅰ卷理科數(shù)學(xué)分類含答案立體幾何(參考版)
2024-10-11 19:57本頁面
【正文】 （18）解：（I）因?yàn)椋?（II）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的長為單位長，射線為軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，則，可取..故二面角的余弦值為.。【2011，18】如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60176。所以，解得。設(shè)平面的法向量為，則，所以，即，令，則。又平面，所以，以C點(diǎn)為原點(diǎn)，CA、CB、CC1所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系。因此二面角的大小為。由，BD⊥DC1，所以為二面角A1－BD－C1的平面角。取的中點(diǎn)，連接。而平面，所以?！窘馕觥浚?）在中，得：，同理：，得：。故△AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥∩OA1＝O，所以AB⊥，故AB⊥A1C.(2)解：由(1)知OC⊥AB，OA1⊥⊥平面AA1B1B，交線為AB，所以O(shè)C⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩相互垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，||為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)．則＝(1,0，)，＝＝(－1，0)，＝(0，)．設(shè)n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，則即可取n＝(，1，－1)．故cos〈n，〉＝＝.所以A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為.【2012，19】如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)，DC1⊥BD。因?yàn)?，所以為等邊三角形．又AB=BC=，則，設(shè)是平面的法向量，則，即所以可取設(shè)是平面的法向量，則，同理可取則，所以二面角的余弦值為.【2013，18】如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60176。解析：設(shè)ABCD所在的截面圓的圓心為M,則AM=,OM=，.三、解答題【2017，18】如圖，在四棱錐PABCD中，AB//CD，且（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，求二面角APBC的余弦值．（18）【解析】（1）證明：∵，∴，又∵，∴，又∵，、平面，∴平面，又平面，∴平面平面．（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，由（1）知，平面，∴平面，又、平面，∴，又∵，∴，∴、兩兩垂直，∴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，∴、∴、設(shè)為平面的法向量，由，得，令，則，可得平面的一個(gè)法向量，∵，∴，又知平面，平面，∴，又，∴平面，即是平面的一個(gè)法向量，∴，由圖知二面角為鈍角，所以它的余弦值為．【2016，18】如圖，在以為頂點(diǎn)的五面體中，面
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