山東省濟南市實驗中學20xx屆高三上學期第三次診斷考試數(shù)學理試題word版含解析(參考版)
2024-12-01 00:46本頁面
【正文】 23. 已知函數(shù) (I)當 時，求 的解集； (II)若不等式 的解集包含 ，求的取值范圍． 【答案】 （ 1） ；（ 2） 。 22. 在極坐標系中，點 M的坐標為 ，曲線 C的方程為 ；以極點為坐標原點，極軸為 x 軸的正半軸建立平面直角坐標系，斜率為 的直線 l經(jīng)過點 M． (I)求直線 l 和曲線 C的直角坐標方程： (II)若 P為曲線 C上任意一點，直線 l和曲線 C相交于 A， B兩點，求 △PAB 面積的最大值． 【答案】 （ 1）直線方程為 y=﹣ x+3，曲線 C的直角坐標方程為（ x﹣ 1） 2+（ y﹣ 1） 2=2；（ 2） 【解析】 試題分析：（ 1）根據(jù)極坐標和直角坐標的互化公式得到直線方程為 y=﹣ x+3，曲線C 的直角坐標方程為（ x﹣ 1） 2+（ y﹣ 1） 2=2；（ 2）由圖像的到圓上的點到直線 L的距離最大值為 ，再計算弦長即三角形的底邊長，進而得到面積。 ∴ 函數(shù) 在區(qū)間 上為增函數(shù) 。 20. 如圖，三棱柱 中， M， N分別為 的中點． (I)證明：直線 MN//平面 CAB1； (II)若四邊形 ABB1A1是菱形，且 ， ，求平面和平面 所成的角 (銳角 )的余弦值． 【答案】 (1)見解析； (2)余弦值為 . 【解析】 試題分析： (1)由題意結合幾何關系可證得 ， 利用線面平行的判定定理可證得直線MN//平面 CAB1； (2)結合幾何體的特征建立空間直角坐標系，利用半平面的法向量可求得平面和平面 所成的角 (銳角 )的余弦值為 . 試題解析： （ 1）設 與 交于點 ，連接 ， 因為四邊形 是平行四邊形，所以是 是 的中點， 是 的中點，所以 . 又因為 是 的中點，所以 . 所以 ，所以四邊形 是平行四邊形， 所以 . 又因為 平面 ， 平面 ， 所以直線 平面 . （ 2）因為平行四邊形 是菱形，所以 . 又因為 ，所以 .又 且 是 的中點，所以 .又因為 ，所以 ≌ ，所以 ，故 ，從而兩兩垂直 . 以 為坐標原點， 所在直線分別為 軸建立如圖空間直角坐標系 ， 則 ， ， ， 因為 兩兩垂直，所以 平面 ， 所以 是平面 的一個法向量； 設 是平面 的一個法向量，則 ，即 ， 令 ,得 ，所以 所以 所以平面 和平面 所成的角（銳角）的余弦值為 點睛 ： 利用平面的法向量求二面角的大小時，當求出兩半平面 α， β的法向量n1， n2時，要根據(jù)向量坐標在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1， n2的夾角是相等，還是互補 . 21. 已知函數(shù) (I)求函數(shù) 的最大值； (Ⅱ) 令 既有極大值，又有極小值，求實數(shù) a 的范圍； (III)求證：當以 ． 【答案】 （ 1） 1；（ 2） ；（ 3）見解析 . 【解析】 試題分析： (1)由題意結合導函數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)性，據(jù)此可得函數(shù)的最大值為； (2)原問題等價于一元二次方程 在區(qū)間 內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根，據(jù)此列出不等式組求解可得 實數(shù) a 的范圍是 ； (3)由題意結合 (1)的結論指數(shù)裂項放縮即可證得題中的
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