20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)231雙曲線及其標準方程(參考版)
2024-11-20 23:24本頁面
【正文】 , 則 △ F1PF2的面積是 . 解析 :雙曲線的兩個焦點為 F1( 0 , 5 ), F2( 0 , 5 ) . ∵ ∠ F1PF2= 90 176。 , ∴ ??△ ??1?? ??2=12| P F1| | ?? ??2| =100 1002 |?? ??1| 6, 將此式兩邊平方 ,得 | P F1|2+ | P F2|2= 36 + 2 | P F1| | P F2|= 32, 試求 △ F1PF2的面積 . 解 :由雙曲線方程??29???216= 1, 可知 a= 3, b= 4 , c= ??2+ ??2= 5 . 由雙曲線的定義 ,得 | P F1| | P F2|= 177。 , 1 2 0 176。 , ??△ ??1?? ??2= 3 3 . ZHONGNAN TANJIU 重難探究 首 頁 XINZHI DAOXUE 新知導(dǎo)學(xué) DANGTANG JIANCE 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 3 ) 由以上結(jié)果可知 ,隨著 ∠ F1MF2的增大 , △ F1MF2的面積將減小 . 證明如下 :令 ∠ F1MF2= θ ,則 ??△ ??1?? ??2=12r1r2s in θ . 由雙曲線的定義及余弦定理 ,有 ( ??1 ??2)2= 4 ??2,??12+ ??22 2 ??1??2cos ?? = 4 ??2,①② ② ① 得 r1r2=4 ??2 4 ??22 ( 1 c o s ?? ), ∴ ??△ ??1?? ??2=( ??2 ??2) si n ??1 c o s ??=??2t a n??2. ∵ 0 θ π ,0 ??2π2,在 0 ,π2 內(nèi) , y=1t a n??2是減函數(shù) , ∴ 當 θ 增大時 , ??△ ??1?? ??2=??2t a n??2減小 . ZHONGNAN TANJIU 重難探究 首 頁 XINZHI DAOXUE 新知導(dǎo)學(xué) DANGTANG JIANCE 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 點評 1 .由于三角形面積 ?? △ ??1 ?? ?? 2=12r 1 r 2 s in θ ,所以只要求出 r 1 r 2 即可 ,因此可考慮應(yīng)用雙曲線的定義及余弦定理求 出 r 1 r 2 ,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的一種整體思想 . 2 .本題由 θ = 60 176。 = ( r1 r2)2+r1r2, ∴ r1r2= 36, ∴ ??△ ??1?? ??2=12r1r2s in 60 176。 , △ F1MF2的面積又是多少 ? ( 3 ) 觀察以上計算結(jié)果 , 你能看出隨 ∠ F1MF2的變化 , △ F1MF2的面積將怎樣變化嗎 ? 試證明你的結(jié)論 . ZHONGNAN TANJIU 重難探究 首 頁 XINZHI DAOXUE 新知導(dǎo)學(xué) DANGTANG JIANCE 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思路分析 :求解有關(guān)焦點三角形問題 ,可靈活運用雙曲線的定義及余弦定理 ,同時注意整體代換思想的運用 . 解 : ( 1 ) 由雙曲線方程 ,知 a= 2, b= 3, c= 13 . 設(shè) |MF1| = r1, |MF2| = r2( r1r2) . 由雙曲線的定義 ,有 r1 r2= 2 a= 4, 兩邊平方 ,得 ??12+ ??22 2 r1r2= 16, ∴ |F1F2|2 4 ??△ ??1?? ??2= 16, ∴ 52 16 = 4 ??△ ??1?? ??2, 解得 ??△ ??1?? ??2= 9 . ( 2 ) 若 ∠ F1MF2= 60 176。 時 , 求 △ F1MF2的面積 . ( 2 ) 若 ∠ F1MF2= 60 176。 由 x2+y2 10 x+ 9 = 0 得 ( x 5)2+y2= 16, 故圓 F2的圓心為 F2( 5 , 0 ) ,半徑 r2= 4 . 由題意知 , |MF1| = R + r1= R + 1, |MF2| = R + r2=R+ 4, ∴ |MF2| |MF1|= 3, ∴ 點 M 的軌跡是以 F1, F2為焦點的雙曲線的左支 . ∴ c= 5, a=32, b2=c2 a2=914. ∴ 動圓圓心 M 的軌跡方程
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