20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)211橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(參考版)
2024-11-20 23:27本頁面
【正文】 , | A B | = 2, | A C | = 22, 曲線 E 經(jīng)過點(diǎn) C , 動點(diǎn) P 在 E上運(yùn)動 , 且保持 | P A | + | P B | 的值不變 , 求曲線 E 的方程 . 解 :如圖 ,以 AB 所在直線為 x 軸 ,線段 AB 的垂直平分線為 y 軸 ,建立平面直角坐標(biāo)系 . 在 Rt △ ABC 中 , | B C | = |?? ?? |2+ |?? ?? |2=3 22. ∵ | P A | + | P B | = | C A | + | C B | = 22+3 22= 2 2 , 又 | P A | + | P B | | A B | , ∴ 由橢圓的定義知 ,動點(diǎn) P 的軌跡即曲線 E 為橢圓 ,且 a= 2 , c= 1, b= 1 .故曲線 E 的方程為??22+y2= 1 . 。 s in 60 176。| P F2|= 12 . ∴ S=12| P F1| co s 60 176。 , 根據(jù)余弦定理可得 , | P F1|2+ | P F2|2 2 | P F1| si n ??1 + c o s ??=b2tan ??2. 點(diǎn)評 與 焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明 ,應(yīng)考慮用橢圓的定義及三角形中邊與角的關(guān)系 ( 應(yīng)用余弦定理或正弦定理 ) 來解決 . ZHONGNAN TANJIU 重難探究 首 頁 XINZHI DAOXUE 新知導(dǎo)學(xué) DANGTANG JIANCE 當(dāng)堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 ?? 變式訓(xùn)練 3 ?? 已知 P 為橢圓??216+??29= 1 上的點(diǎn) , F1, F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) , ∠ F1PF2= 60 176。| P F2|=2 ??21 + c o s ??. ∴ ??△ ?? ??1??2=12| P F1| | P F2| co s θ = 4 c2, 即 4( a2 c2) = 2 | P F1| | P F2| co s θ = | F1F2|2= 4 c2. ∴ ( | P F1| + | P F2| )2 2 | P F1| | P F2| ,再由??△ ?? ??1??2=12| P F1| | P F2|= 4 a2.在 △ PF1F2中 ,由余弦定理得| P F1|2+ | P F2|2 2 | P F1| | P F2|及余弦定理求出 | P F1| | P F2| s in ∠ F1PF2把 | P F1| ( 3 ) 經(jīng)過點(diǎn) P ( 2 3 , 1 ) , Q ( 3 , 2) . 思路分析 :應(yīng)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ,注意 “ 定位 ” 與 “ 定量 ” 的確定 . 解 : ( 1 ) 由于橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上 , 則設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為??2??2+??2??2= 1( a b 0) . ∴ 2 a= ( 5 + 4 )2+ ( 5 4 )2= 10 . ∴ a= 5 . 又 c= 4, ∴ b2=a2 c2= 25 16 = 9 . 故所求橢圓的方程為??225+??29= 1 . ZHONGNAN TANJIU 重難探究 首 頁 XINZHI DAOXUE 新知導(dǎo)學(xué) DANGTANG JIANCE 當(dāng)堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 2 ) 由于橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上 ,則設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為??2??2+??2??2= 1( a b 0) . 由于橢圓經(jīng)過點(diǎn) ( 0 , 2 ) 和 ( 1 , 0 ) , ∴ 4??2+0??2= 1 ,0??2+1??2= 1? ??2= 4 ,??2= 1 . 故所求橢圓的方程為??24+x2= 1 . ( 3 ) 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 mx2+ n y2= 1( m 0, n 0, 且 m ≠ n ), ∵ 點(diǎn) P ( 2 3 , 1 ) , Q ( 3 , 2) 在橢圓上 , ∴ 將其代入上述方程得 12 ?? + ?? = 1 ,3 ?? + 4 ?? = 1 . 解得 ?? =115,?? =15.故所求橢圓的方程為??215+??25= 1 . ZHONGNAN TANJIU 重難探究 首 頁 XINZHI DAOXUE 新知導(dǎo)學(xué) DANGTANG JIANCE 當(dāng)堂檢測 ?? 變式訓(xùn)練 2 ?? 求經(jīng)過點(diǎn) ( 2 , 3) 且與橢圓 9 x2+ 4 y2= 36 有共同焦點(diǎn)的橢圓方程 . 解法一 :由題意知橢圓 9 x2+ 4 y2= 36
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