20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)231雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1(參考版)
2024-11-20 23:24本頁(yè)面
【正文】 2 a ( 0 2 a | F1F2|) 時(shí)， P 點(diǎn)的軌跡是雙曲線，其中取正號(hào)時(shí)為雙曲線的右支，取負(fù)號(hào)時(shí)為雙曲線的左支 ． 。 | PF 2 |的聯(lián)系，請(qǐng)同學(xué)們多加注意 . 分類(lèi)討論思想的應(yīng)用 已知方程 kx2＋ y2＝ 4，其中 k為實(shí)數(shù)，對(duì)于不同范圍的 k值分別指出方程所表示的曲線類(lèi)型． [分析 ] 解答本題可依據(jù)所學(xué)的各種曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式的系數(shù)應(yīng)滿足的條件進(jìn)行分類(lèi)討論． [ 解析 ] ( 1 ) 當(dāng) k ＝ 0 時(shí)， y ＝ 177。 . [ 方法規(guī)律總結(jié) ] 雙曲線的焦點(diǎn)三角形是常見(jiàn)的命題著眼點(diǎn)，在焦點(diǎn)三 角形中，正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義等是經(jīng)常使用的知識(shí)點(diǎn) ． 另外，還經(jīng)常結(jié)合 | PF 1 |－ | PF 2 |＝ 177。 | PF 2 |＝1 0 0 － 1 0 02| PF 1 | | PF 2 |＝ 32 ，求 ∠ F 1 PF 2 的大小 ． [ 解析 ] 由雙曲線 的對(duì)稱性，可設(shè)點(diǎn) P 在第一象限， 由雙曲線的方程，知 a ＝ 3 ， b ＝ 4 ， ∴ c ＝ 5. 由雙曲線的定義，得 | PF 1 |－ | PF 2 |＝ 2 a ＝ 6. 上式兩邊平方，得 | PF 1 |2＋ | PF 2 |2＝ 36 ＋ 2| PF 1 | ＝12 36 32＝ 9 3 . 同理可求得若 ∠ F1PF2＝ 120176。 ， 在 △ F1PF2中 ， 由余弦定理得 | F1F2|2＝ r21＋ r22－ 2 r1r2c os60176。 | PF 2 |. [ 解析 ] ( 1) 由雙曲線方程知 a ＝ 2 ， b ＝ 3 ， c ＝ 13 ， 設(shè) | PF1|＝ r1， | PF2|＝ r2( r1 r2) ， 如圖所示 ． 由雙曲線定義，有 r1－ r2＝ 2 a ＝ 4 ， 兩邊平方得 r21＋ r22－ 2 r1r2＝ 16. ∵∠ F1PF2＝ 90176。 | PF 2 | 時(shí)， △ F 1 PF 2 的面積是多少？若 ∠ F 1 PF 2＝ 1 2 0 176。 PF2→＝ 0 ， 所以 △ PF1F2是直角三角形 ． 又因?yàn)?ta n ∠ PF1F2＝ 2 ，所以 | PF2|＝ 2| PF1|. 根據(jù)雙曲線的定義有 | PF2|－ | PF1|＝ 2 a ， 所以 | PF2|＝ 4 a ， | PF1|＝ 2 a ， 于是 | F1F2|＝ 2 5 a ，即 2 c ＝ 2 5 a ， 所以 c ＝ 5 a ，于是 b ＝ 2 a ，故a － ba ＋ b＝a － 2 aa ＋ 2 a＝－13. 雙曲線的焦點(diǎn)三角形 設(shè)雙曲線x24－y29＝ 1 ， F 1 ， F 2 是其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) P在雙曲線右支上 ． ( 1 ) 若 ∠ F 1 PF 2 ＝ 90176。 n 0 . 求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： ( 1 ) 雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是 (0 ，－ 6) ，經(jīng)過(guò)點(diǎn) A ( － 5 ， 6) ，_ _ _ _ _ _ _ _ ； ( 2 ) 與橢圓x216＋y225＝ 1 共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn) (1 ，－52) ， _ _ _ _ _ _ _ _ . [ 答案 ] ( 1 ) y216 －x 220 ＝ 1 ( 2 )y 25 －x 24 ＝ 1 [ 解析 ] ( 1 ) 解法一：由已知得， c ＝ 6 ，且焦點(diǎn)在 y 軸上，則另一焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ( 0 , 6 ) ． 因?yàn)辄c(diǎn) A ( － 5 , 6 ) 在雙曲線上，所以點(diǎn) A 與兩焦點(diǎn) 的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù) 2 a ，即 2 a ＝ | ?－ 5 ?2＋ ? 6 ＋ 6 ?2－ ?－ 5 ?2＋ ? 6 － 6 ?2| ＝ | 1 3 － 5| ＝ 8 ， 得 a ＝ 4 ， b2＝ c2－ a2＝ 62－ 42＝ 2 0 . 因此，所求的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是y216－x220＝ 1. 解法二：由焦點(diǎn)坐標(biāo)知 c ＝ 6 ， ∴ a2＋ b2＝ 36 ，
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