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20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學231《雙曲線及其標準方程》1(文件)

2024-12-10 23:24 上一頁面

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【正文】 將點 (3 2 , 2) 代入得 k = 4 , ∴ 所求雙曲線方程為x212-y28= 1. [ 方法規(guī)律總結 ] 1. 利用待定系數(shù)法求雙曲線標準方程的步驟如下: ( 1 ) 定位置:根據(jù)條件判定雙曲線的焦點在 x 軸上還是在 y軸上,還是兩坐標軸都有可能 . ( 2 ) 設方程:根據(jù)焦點位置,設方程為x2a2 -y2b2 = 1 或y2a2 -x2b2 =1( a 0 , b 0 ) ,焦點不定時,亦可設為 mx2+ ny2= 1( m PF2→= 0 , 所以 △ PF1F2是直角三角形 . 又因為 ta n ∠ PF1F2= 2 ,所以 | PF2|= 2| PF1|. 根據(jù)雙曲線的定義有 | PF2|- | PF1|= 2 a , 所以 | PF2|= 4 a , | PF1|= 2 a , 于是 | F1F2|= 2 5 a ,即 2 c = 2 5 a , 所以 c = 5 a ,于是 b = 2 a ,故a - ba + b=a - 2 aa + 2 a=-13. 雙曲線的焦點三角形 設雙曲線x24-y29= 1 , F 1 , F 2 是其兩個焦點,點 P在雙曲線右支上 . ( 1 ) 若 ∠ F 1 PF 2 = 90176。 | PF 2 | , 在 △ F1PF2中 , 由余弦定理得 | F1F2|2= r21+ r22- 2 r1r2c os60176。 | PF 2 |= 32 ,求 ∠ F 1 PF 2 的大小 . [ 解析 ] 由雙曲線 的對稱性,可設點 P 在第一象限, 由雙曲線的方程,知 a = 3 , b = 4 , ∴ c = 5. 由雙曲線的定義,得 | PF 1 |- | PF 2 |= 2 a = 6. 上式兩邊平方,得 | PF 1 |2+ | PF 2 |2= 36 + 2| PF 1 | . [ 方法規(guī)律總結 ] 雙曲線的焦點三角形是常見的命題著眼點,在焦點三 角形中,正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義等是經(jīng)常使用的知識點 . 另外,還經(jīng)常結合 | PF 1 |- | PF 2 |= 177。2 a ( 0 2 a | F1F2|) 時, P 點的軌跡是雙曲線,其中取正號時為雙曲線的右支,取負號時為雙曲線的左支 . 。 | PF 2 |的聯(lián)系,請同學們多加注意 . 分類討論思想的應用 已知方程 kx2+ y2= 4,其中 k為實數(shù),對于不同范圍的 k值分別指出方程所表示的曲線類型. [分析 ] 解答本題可依據(jù)所學的各種曲線的標準形式的系數(shù)應滿足的條件進行分類討論. [ 解析 ] ( 1 ) 當 k = 0 時, y = 177。 | PF 2 |=1 0 0 - 1 0 02| PF 1 | =12 36 32= 9 3 . 同理可求得若 ∠ F1PF2= 120176。 | PF 2 |. [ 解析 ] ( 1) 由雙曲線方程知 a = 2 , b = 3 , c = 13 , 設 | PF1|= r1, | PF2|= r2( r1 r2) , 如圖所示 . 由雙曲線定義,有 r1- r2= 2 a = 4 , 兩邊平方得 r21+ r22- 2 r1r2= 16. ∵∠ F1PF2= 90176。 時, △ F 1 PF 2 的面積是多少?若 ∠ F 1 PF 2= 1 2 0 176。 n 0 . 求適合下列條件的雙曲線的標準方程: ( 1 ) 雙曲線的一個焦點坐標是 (0 ,- 6) ,經(jīng)過點 A ( - 5 , 6) ,_ _ _ _ _ _ _ _ ; ( 2 ) 與橢圓x216+y225= 1 共焦點,且過點 (1 ,-52) , _ _ _ _ _ _ _ _ . [ 答案 ] ( 1 ) y216 -x 220 = 1 ( 2 )y 25 -x 24 = 1 [ 解析 ] ( 1 ) 解法一:由已知得, c = 6 ,且焦點在 y 軸上,則另一焦點坐標是 ( 0 , 6 ) .
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