20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學231《雙曲線及其標準方程》1(文件)
【正文】 將點 (3 2 ， 2) 代入得 k ＝ 4 ， ∴ 所求雙曲線方程為x212－y28＝ 1. [ 方法規(guī)律總結 ] 1. 利用待定系數(shù)法求雙曲線標準方程的步驟如下： ( 1 ) 定位置：根據(jù)條件判定雙曲線的焦點在 x 軸上還是在 y軸上，還是兩坐標軸都有可能 ． ( 2 ) 設方程：根據(jù)焦點位置，設方程為x2a2 －y2b2 ＝ 1 或y2a2 －x2b2 ＝1( a 0 ， b 0 ) ，焦點不定時，亦可設為 mx2＋ ny2＝ 1( m PF2→＝ 0 ， 所以 △ PF1F2是直角三角形 ． 又因為 ta n ∠ PF1F2＝ 2 ，所以 | PF2|＝ 2| PF1|. 根據(jù)雙曲線的定義有 | PF2|－ | PF1|＝ 2 a ， 所以 | PF2|＝ 4 a ， | PF1|＝ 2 a ， 于是 | F1F2|＝ 2 5 a ，即 2 c ＝ 2 5 a ， 所以 c ＝ 5 a ，于是 b ＝ 2 a ，故a － ba ＋ b＝a － 2 aa ＋ 2 a＝－13. 雙曲線的焦點三角形 設雙曲線x24－y29＝ 1 ， F 1 ， F 2 是其兩個焦點，點 P在雙曲線右支上 ． ( 1 ) 若 ∠ F 1 PF 2 ＝ 90176。 | PF 2 | ， 在 △ F1PF2中 ， 由余弦定理得 | F1F2|2＝ r21＋ r22－ 2 r1r2c os60176。 | PF 2 |＝ 32 ，求 ∠ F 1 PF 2 的大小 ． [ 解析 ] 由雙曲線 的對稱性，可設點 P 在第一象限， 由雙曲線的方程，知 a ＝ 3 ， b ＝ 4 ， ∴ c ＝ 5. 由雙曲線的定義，得 | PF 1 |－ | PF 2 |＝ 2 a ＝ 6. 上式兩邊平方，得 | PF 1 |2＋ | PF 2 |2＝ 36 ＋ 2| PF 1 | . [ 方法規(guī)律總結 ] 雙曲線的焦點三角形是常見的命題著眼點，在焦點三 角形中，正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義等是經(jīng)常使用的知識點 ． 另外，還經(jīng)常結合 | PF 1 |－ | PF 2 |＝ 177。2 a ( 0 2 a | F1F2|) 時， P 點的軌跡是雙曲線，其中取正號時為雙曲線的右支，取負號時為雙曲線的左支 ． 。 | PF 2 |的聯(lián)系，請同學們多加注意 . 分類討論思想的應用 已知方程 kx2＋ y2＝ 4，其中 k為實數(shù)，對于不同范圍的 k值分別指出方程所表示的曲線類型． [分析 ] 解答本題可依據(jù)所學的各種曲線的標準形式的系數(shù)應滿足的條件進行分類討論． [ 解析 ] ( 1 ) 當 k ＝ 0 時， y ＝ 177。 | PF 2 |＝1 0 0 － 1 0 02| PF 1 | ＝12 36 32＝ 9 3 . 同理可求得若 ∠ F1PF2＝ 120176。 | PF 2 |. [ 解析 ] ( 1) 由雙曲線方程知 a ＝ 2 ， b ＝ 3 ， c ＝ 13 ， 設 | PF1|＝ r1， | PF2|＝ r2( r1 r2) ， 如圖所示 ． 由雙曲線定義，有 r1－ r2＝ 2 a ＝ 4 ， 兩邊平方得 r21＋ r22－ 2 r1r2＝ 16. ∵∠ F1PF2＝ 90176。 時， △ F 1 PF 2 的面積是多少？若 ∠ F 1 PF 2＝ 1 2 0 176。 n 0 . 求適合下列條件的雙曲線的標準方程： ( 1 ) 雙曲線的一個焦點坐標是 (0 ，－ 6) ，經(jīng)過點 A ( － 5 ， 6) ，_ _ _ _ _ _ _ _ ； ( 2 ) 與橢圓x216＋y225＝ 1 共焦點，且過點 (1 ，－52) ， _ _ _ _ _ _ _ _ . [ 答案 ] ( 1 ) y216 －x 220 ＝ 1 ( 2 )y 25 －x 24 ＝ 1 [ 解析 ] ( 1 ) 解法一：由已知得， c ＝ 6 ，且焦點在 y 軸上，則另一焦點坐標是 ( 0 , 6 ) ．
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