20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)231雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1-文庫(kù)吧在線文庫(kù)
【正文】 9＝ 1. ( 2 ) 解法一：設(shè)雙曲線方程為x2a2 －y2b2 ＝ 1( a 0 ， b 0 ) ，由題意易求得 c ＝ 2 5 . 又雙曲線過(guò)點(diǎn) (3 2 ， 2) ， ∴? 3 2 ?2a2 －4b2 ＝ 1. 又 ∵ a2＋ b2＝ (2 5 )2， ∴ a2＝ 12 ， b2＝ 8. 故所求雙曲線的方程為x212－y28＝ 1. 解法 二：設(shè)雙曲線方程為x216 － k－y24 ＋ k＝ 1 ， 將點(diǎn) (3 2 ， 2) 代入得 k ＝ 4 ， ∴ 所求雙曲線方程為x212－y28＝ 1. [ 方法規(guī)律總結(jié) ] 1. 利用待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟如下： ( 1 ) 定位置：根據(jù)條件判定雙曲線的焦點(diǎn)在 x 軸上還是在 y軸上，還是兩坐標(biāo)軸都有可能 ． ( 2 ) 設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)位置，設(shè)方程為x2a2 －y2b2 ＝ 1 或y2a2 －x2b2 ＝1( a 0 ， b 0 ) ，焦點(diǎn)不定時(shí)，亦可設(shè)為 mx2＋ ny2＝ 1( m 1 0 ， ∴ | PF 2 |＝ 22或 2. 3．在方程 mx2－ my2＝ n中，若 mn0，則方程的曲線是( ) A．焦點(diǎn)在 x軸上的橢圓 B．焦點(diǎn)在 x軸上的雙曲線 C．焦點(diǎn)在 y軸上的橢圓 D．焦點(diǎn)在 y軸上的雙曲線 [答案 ] D [ 解析 ] 方程 mx2－ my2＝ n 可化為：y2－nm－x2－nm＝ 1 ， ∵m n 0 ， ∴ －nm0 ， ∴ 方程的曲線是焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線 ． 4 ． ( 2 0 1 4 時(shí)， △ F 1 PF 2 的面積又是多少？ [ 分析 ] 由于三角形面積 S △ F1 PF 2＝12| PF 1 | 時(shí)， S △ F1PF2＝ 3 3 . [方法規(guī)律總結(jié) ] 在橢圓的研究中我們已經(jīng)體驗(yàn)了定義在解決有關(guān)曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離問(wèn)題中的作用，同樣在雙曲線中也應(yīng)注意定義的應(yīng)用． 已知雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問(wèn)題，往往利用正弦定理、余弦定理以及雙曲線的定義列出關(guān)系式． 若 F 1 、 F 2 是雙曲線x 29 －y 216 ＝ 1 的兩個(gè)焦點(diǎn)， P 在雙曲線上，且 | PF 1 | 2 ，表示兩條與 x 軸平行的直線； ( 2 ) 當(dāng) k ＝ 1 時(shí)，方程為 x2＋ y2＝ 4 ，表示圓心在原點(diǎn)，半徑為 2 的圓； ( 3 ) 當(dāng) k 0 時(shí)，方程為y24－x2－4k＝ 1 ，表示焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線； ( 4 ) 當(dāng) 0 k 1 時(shí)，方程為x24k＋y24＝ 1 ，表示焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓； ( 5 ) 當(dāng) k 1 時(shí)，方程為x24k＋y24＝ 1 ，表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓 ． [ 方法規(guī)律 總結(jié) ] 解決這類題的基本方法是分類討論，在分類討論的過(guò)程中應(yīng)做到不重不漏，選擇適當(dāng)?shù)姆纸琰c(diǎn) ． 在討論過(guò)程中應(yīng)說(shuō)出該方程表示的是哪種曲線及其特征 ． 討論方程 x25 － m ＋y 22 － m ＝ 1( m 3 ) 所表示的曲線類型 ． [ 答案 ] 2 m 3 時(shí)，方程表示雙曲線； m 2 時(shí)，方程表示橢圓 ． m ＝ 2 時(shí)不表示任何曲線 ． [ 解析 ] 當(dāng) 2 m 3 時(shí)， 5 － m 0 , 2 － m 0 ，此時(shí)方程x25 － m＋y22 － m＝ 1 表示焦點(diǎn)在 x 軸上的雙曲線；當(dāng) m 2 時(shí)， 5 － m 2 －m 0 ，此時(shí)方程x25 － m＋y22 － m＝ 1 表示焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓 . 注意參數(shù)取值范圍對(duì)解題的影響 已知雙曲線 8 kx 2 － ky 2 ＝ 8 的一個(gè)焦點(diǎn)為 ( 0 , 3 ) ，求k 的值 ． [ 錯(cuò)解 ] 將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程x21k－y28k＝ 1. 因?yàn)榻裹c(diǎn)在y 軸上，所以 a2＝8k， b2＝1k，所以 c ＝ a2－ b2＝8k－1k＝ 3 ，即7k＝ 9 ，所以 k ＝
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