20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)222拋物線的簡單性質(zhì)1-文庫吧在線文庫
【正文】 為拋物線的通徑 ， 其長為_____. (5)范圍：由 y2＝ 2px≥0， p0知 x≥0， 所以拋物線在 y軸的_____側(cè)；當(dāng) x的值增大時 ， |y|也 _____， 這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸 ， p值越大 ， 它開口 ________. 焦點 準(zhǔn)線 2p 右 增大 越開闊 ， 消元后得到一元二次方程 ， 若 Δ＝ 0， 則直線與拋物線 _____， 若 Δ0， 則直線與拋物線 _____， 若 Δ0， 則直線與拋物線 ___________． 特別地 ， 當(dāng)直線與拋物線的軸平行時 ， 直線與拋物線有 _____個公共點 ． 2． 在求解直線與拋物線的位置關(guān)系的問題時 ， 要注意運用函數(shù)與方程思想 ， 將位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為方程 _____的問題 ． 直線與拋物線的位置關(guān)系及拋物線的焦點弦 相切 相交 沒有公共點 一 根 拋物線上一點與焦點 F連接的線段叫作焦半徑 ， 設(shè)拋物線上任一點 A(x0， y0)， 則四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式下的焦半徑公式為 標(biāo)準(zhǔn) 方程 y2＝ 2 px ( p 0) y2＝－ 2 px ( p 0) x2＝ 2 py ( p 0) x2＝－ 2 py ( p 0) 焦半 徑 | AF | | AF |＝ x 0 ＋p2 | AF |＝p2－ x 0 | AF |＝ y 0 ＋p2 | AF |＝p2－ y 0 如圖所示： AB是拋物線 y2＝ 2px(p0)過焦點 F的一條弦 ， 設(shè)A(x1， y1)、 B(x2， y2)， AB的中點 M(x0， y0)， 拋物線的準(zhǔn)線為 l. (1) 以 AB 為直徑的圓必與準(zhǔn)線 l 相切； (2)| AB |＝ 2( x 0 ＋p2) ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ p ； (3) A 、 B 兩點的橫坐標(biāo)之積、 縱坐標(biāo)之積為定值，即 x 1 的直線交拋物線于 A、 B兩點 ， 若線段 AB的長為 8， 則 p＝ ______. [答案 ] 2 [ 解析 ] 本小題主要考查拋物線的性質(zhì)、弦長等基礎(chǔ)知識 ． 直線 AB ： y ＝ x －p2代入拋物線 y2＝ 2 px ， 得 x2－ 3 px ＋p24＝ 0 ， ∴ x 1 ＋ x 2 ＝ 3 p ， ∴ 3 p ＋ p ＝ 8 ， ∴ p ＝ 2. 課堂典例探究 若拋物線 y2＝－ 2px(p0)上有一點 M， 其橫坐標(biāo)為－ 9， 它到焦點的距離為 10， 求拋物線方程和 M點的坐標(biāo) ． 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 [ 解析 ] 由拋物線定義， 設(shè)焦點為 F ( －p2， 0) ． 則該拋物線準(zhǔn)線方程為 x ＝p2，由題意設(shè)點 M 到準(zhǔn)線的距離為 | MN |， [方法規(guī)律總結(jié) ] 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程要明確四個步驟： (1)定位置 (根據(jù)條件確定拋物線的焦點位置及開口 )； (2)設(shè)方程 (根據(jù)焦點和開口設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程 )； (3)找關(guān)系 (根據(jù)條件列出關(guān)于 p的方程 )； (4)得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 ． 則 | MN |＝ | MF |＝ 10 ，即p2－ ( － 9) ＝ 10 ， ∴ p ＝ 2. 故拋物線方程為 y2＝－ 4 x . 將 M ( － 9 ， y ) 代入拋物線方程，得 y ＝ 177。2 2 ，由拋物線的對稱性，不妨設(shè) A (2,2 2 ) ． 由 A (2,2 2 ) ， F (1,0) 可得直線 AF 的方程為 y ＝ 2 2 ( x － 1) ． 由????? y ＝ 2 2 ? x － 1 ? ，y2＝ 4 x ，得 2 x2－ 5 x ＋ 2 ＝ 0 ， 解得 x ＝ 2 或 x ＝12，從而 B (12，－ 2 ) ． 又 G ( － 1,0) ， 所以 kGA＝2 2 － 02 － ? － 1 ?＝2 23， kGB＝－ 2 － 012－ ? － 1 ?＝－2 23， 所以 kGA＋ kGB＝ 0 ，從而 ∠ AGF ＝ ∠ BGF ，這表明點 F 到直線 GA ， GB 的距離相等，故以 F 為圓心且與直線 GA 相切的圓必與直線 GB 相切 ． 法二： (1) 同法一 ． (2) 設(shè)以點 F 為圓心且與直線 GA 相切的圓的半徑為 r . 因為點 A (2 ， m ) 在拋物線 E ： y2＝ 4 x 上， 所以 m ＝ 177。 ＝ 3 ， 又 F (32， 0) ． 所以直線 l 的方程為 y ＝ 3 ( x －32) ． 聯(lián)立????? y2＝ 6 x ，y ＝ 3 ? x －32? ， 消去
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