20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)212橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)-文庫(kù)吧在線文庫(kù)
【正文】 ＋y23＝ 1. 若焦點(diǎn)在 y 軸上，則 b ＝ 3 ， ∵ e ＝ca＝ 1 －b2a2 ＝ 1 －9a2 ＝63， 解得 a2＝ 2 7 . ∴ 橢圓的方程為y227＋x29＝ 1. 綜上可知橢圓方程為x29＋y23＝ 1 或y227＋x29＝ 1. ( 2 ) 設(shè)橢圓的方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ． 如圖所示， △ A1FA2為等腰直角三角形， OF 為斜邊 A1A2的中線 ( 高 ) ， 且 | OF |＝ c ， | A1A2|＝ 2 b ， ∴ c ＝ b ＝ 4 ， ∴ a2＝ b2＋ c2＝ 32 ， 故所求橢圓的方程為x232＋y216＝ 1. [ 方法規(guī)律總結(jié) ] 已知橢圓的幾何性質(zhì)，求其標(biāo)準(zhǔn)方程主要采用待定系數(shù)法，解題步驟為： ( 1 ) 確定焦點(diǎn)所在的位置，以確定橢圓方程 的形式； ( 2 ) 確立關(guān)于 a 、 b 、 c 的方程 ( 組 ) ，求出參數(shù) a 、 b 、 c ； ( 3 ) 寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程 ． 離心率為35，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 10 的橢圓方程為 ( ) A.x225＋y216＝ 1 B.x225＋y216＝ 1 或y225＋x216＝ 1 C.x21 0 0＋y264＝ 1 D.x21 00＋y264或y21 0 0＋x264＝ 1 [ 答案 ] B [ 解析 ] 由題意得 2 a ＝ 10 ， a ＝ 5 ，ca＝35， ∴ c ＝ 3 ， ∴ b2＝ a2－ c2＝ 25 － 9 ＝ 16 ， 當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，橢圓方程為x225＋y216＝ 1 ； 當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)，橢圓方程為y225＋y216＝ 1 ，故選 B. 求橢圓的離心率 如圖所示， F 1 ， F 2 分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)等于右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)等于短半軸長(zhǎng)的23，求橢圓的離心率 ． [ 解析 ] 設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距長(zhǎng)分別為 a ， b ，c . 則焦點(diǎn)為 F1( － c, 0) ， F2( c, 0) ， M 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( c ，23b ) ， 則 △ MF1F2為直角三角形 ． 在 Rt △ MF1F2中， | F1F2|2＋ | MF2|2＝ | MF1|2， 即 4 c2＋49b2＝ | MF1|2. 而 | MF1|＋ | MF2|＝ 4 c2＋49b2＋23b ＝ 2 a ， 整理得 3 c2＝ 3 a2－ 2 ab . 又 c2＝ a2－ b2，所以 3 b ＝ 2 a . 所以b2a2 ＝49. ∴ e2＝c2a2 ＝a2－ b2a2 ＝ 1 －b2a2 ＝59， ∴ e ＝53. [ 方法規(guī) 律總結(jié) ] 求橢圓離心率的方法： ① 直接求出 a 和 c ，再求 e ＝ca，也可利用 e ＝ 1 －b2a2 求解 ． ② 若 a 和 c 不能直接求出，則看是否可利用條件得到 a 和c 的齊次等式關(guān)系，然后整理成ca的形式，并將其視為整體，就變成了關(guān)于離心率 e 的方程，進(jìn)而求解 ． 如圖 ， 已知 F1為橢圓的左焦點(diǎn) ，A， B為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn) ， P為橢圓上的點(diǎn) ， 當(dāng) PF1⊥ F1A， PO∥ AB(O為原點(diǎn) )時(shí) ， 則橢圓的離心率為 ________． [ 答案 ] 22 [ 解析 ] 由已知設(shè)橢圓方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ，焦點(diǎn)為F1( － c, 0) ． ∵ PF1⊥ F1A ， ∴ 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( － c ，b2a) ． ∵ AB ∥ PO ， ∴ kAB＝ kOP，即－ba＝－b2ac， ∴ b ＝ c ， ∴ a2＝ 2 c2， ∴ e ＝ca＝22. [ 方法規(guī)律總 結(jié) ] 求離心率 e 時(shí)，一般是先找出標(biāo)準(zhǔn)方程中 a ， b ， c 的關(guān)系，然后，由條件轉(zhuǎn)化出含有 a ， c 的關(guān)系式，進(jìn)而求出 e . 橢圓的實(shí)際應(yīng)用 2020年 10月 15日 9時(shí) ， “ 神舟 ” 五號(hào)載人飛船發(fā)射升空 ， 于 9時(shí) 9分 50秒準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道 ， 開(kāi)始巡天飛行 ． 該軌道是以地球的中心 F2為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓 ． 選取坐標(biāo)系如圖所示 ， 橢圓中心在原點(diǎn) ， 近地點(diǎn) A距地面 200km， 遠(yuǎn)地點(diǎn) B距地面 R＝ 6371km. (1)求飛船飛行的橢圓軌道的方程； (2)飛船繞地球飛行了十四圈后，于 16日 5時(shí) 59分返回艙與推進(jìn)艙分離，結(jié)束巡天飛行，飛船共巡天飛行了約 6 105km，問(wèn)飛船巡天飛行平均速度是多少？ (結(jié)果精確到 1km/s) [ 解析 ] ( 1 ) 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的方程x2a2＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ． 由題設(shè)條件得 a － c ＝ | OA |－ | OF2|＝ | F2A |＝ 6 3 7 1 ＋ 2 0 0 ＝ 6 5 7 1 ， a ＋ c ＝ | OB |＋ | OF2|＝ |
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