slyaaa高二數(shù)學(xué)幾何學(xué)的發(fā)展(參考版)
2025-08-08 19:02本頁(yè)面
【正文】 物化那些感知到的、在直觀的水平上有所把握的 “ 轉(zhuǎn)化 ” 關(guān)系 運(yùn)用圖形形象的描述問(wèn)題，利用直觀進(jìn)行思考。 厐加萊不無(wú)挪揄的指出：為了防止狼，牧羊人修起了柵欄 ， 但卻不知道羊圈里是否還有狼 學(xué)校中歐氏幾何的教育 中學(xué)歐氏幾何的教學(xué)的目的，主要有兩種類型： 發(fā)展學(xué)生的演繹推理的能力， 培養(yǎng)空間想象和空間推理能力 幾何邏輯思維發(fā)展的培養(yǎng)模式 ?平面幾何的課程體系就成為邏輯思維發(fā)展的主要思維材料 ?課程體系要適應(yīng)幾何思維發(fā)展的需要 ?在整合狀態(tài)下實(shí)現(xiàn)概念、定理的認(rèn)知發(fā)展 ?注意數(shù)學(xué)方法的中介作用 ?組織問(wèn)題解決的思維訓(xùn)練 空間觀念的培養(yǎng)策略 空間能力主要包括空間定向和空間想象能力 前者是理解空間中對(duì)象的相互位置關(guān)系，并能對(duì)其進(jìn)行操作，例如能夠在大樓里或街道之間順利地行進(jìn)。因此，我們必定有 OR = r，于是定理得證。于是 OR不小于 r，否則我們能在 R和 B之間選 AB上的點(diǎn) S，使得 RS＜ r－ OR，但是，因?yàn)镺S＜ OR+RS，這意味著謬論： OS＜ r。可證明：對(duì)每 一種情況， CP＜ CQ。 圖 圓內(nèi)外兩點(diǎn)連線必與圓相交的證明 事實(shí)上，令 O為給定圓的圓心， r為半徑， C為從 O到 AB線段的垂線。 希爾伯特公理集可以排除歐氏幾何證明中的直觀成分。它們被當(dāng)作純粹抽象的東西，它們?cè)谘堇[系統(tǒng)中的性質(zhì)，完全用公理的形式加以界定 歐氏幾何公理體系的嚴(yán)密化 希爾伯特幾何公理體系被劃分為五組，用五組公理聯(lián)結(jié)三種對(duì)象及其間的三種關(guān)系（六個(gè)原始概念）。 公理集合的性質(zhì) 相容性，即由公理導(dǎo)出的定理，沒(méi)有哪兩個(gè)是相互矛盾的； 完備性，即理論系統(tǒng)中的定理都可以從公理導(dǎo)出 獨(dú)立性，即由公理導(dǎo)出的定理中中沒(méi)有一個(gè)是另一個(gè)的邏輯 結(jié)果。 幾何基礎(chǔ)與公理化方法 公理化方法 非歐幾何、非交換代數(shù)（如四元數(shù)）的出現(xiàn)，使數(shù)學(xué)家注意到古希臘把公理當(dāng)作自明的真理的局限性。那么A1C1∥ AC。我們不妨將原命題應(yīng)用仿射變換轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的圓的命題：設(shè)△ ABC為圓內(nèi)接三角形，以其頂點(diǎn)作切線構(gòu)成了切線三角形A1B1C1。 克萊因以射影幾何為基礎(chǔ)、對(duì)幾何學(xué)做了如下的分類： 射影幾何 仿射幾何 單重橢圓幾何 雙重橢圓幾何 雙曲幾何 （黎曼幾何） （羅巴切夫斯基幾何） 拋物幾何 其他仿射幾何 （歐幾里得幾何） 利用不變性研究圖形的性質(zhì)，為初等幾何的研究提供了新的方法。 愛(ài)因斯坦說(shuō)： “ 我特別強(qiáng)調(diào)剛才所講的這種幾何學(xué)的觀點(diǎn)，因?yàn)橐菦](méi)有它，我就不能建立相對(duì)論。非歐幾何早期的發(fā)現(xiàn)者們?yōu)榱蓑?yàn)證它的合理性，曾作過(guò)一些實(shí)際的測(cè)定。在黎曼幾何中，三角形的內(nèi)角和大于兩直角，圓周率小于 π “ 現(xiàn)實(shí)性 ” 直到 19世紀(jì)初，所有的數(shù)學(xué)家都認(rèn)為歐氏幾何是物 質(zhì)空間和此空間內(nèi)圖形性質(zhì)的正確描述。 圓內(nèi)接正六邊形的邊大于此圓半徑 幾何學(xué)的統(tǒng)一性與現(xiàn)實(shí)性 德國(guó)數(shù)學(xué)家年提出另一種 非歐幾何學(xué) ——黎曼幾何（黎曼。 在平面上一條已知直線 a的同一側(cè)，與已知線 a有給定距離的點(diǎn)的 軌跡是一曲線，它上面的任意三點(diǎn)都不在一條直線上。 存在著沒(méi)有外接圓的三角形。 不存在相似而不全等的兩個(gè)三角形。在 a與 A所決定的平面上，過(guò)點(diǎn) A而與 a不相交的直線，至少有兩條 羅巴切夫斯基非歐幾何命題 三角形內(nèi)角和都是小于 π 的，而且其和量因三角形而異，并非一個(gè)常量。這與 AC與 a不相交的假設(shè)矛盾 i\ 非歐幾何學(xué)的先兆 從反面證明第五公設(shè)，意大利耶穌會(huì)教士、數(shù)學(xué)家薩凱里（ 1667~1733）于 1733年第一次發(fā)表了其極具特色的成果。 按假設(shè)，直角△ ABB1內(nèi)角和等于 π ，所以 ∠ B1AB=－ a＞ ∠ CAB=－
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