【正文】 微分幾何確是一門豐富的學(xué)問(wèn)，本文並未概括所有有意義的工作，但已經(jīng)看出二十一世紀(jì)的幾何學(xué)將會(huì)是數(shù)學(xué)和一般科學(xué)的中心。在古代測(cè)量地形和建造房屋、金字塔的時(shí)候很明顯地意識(shí)到平面和立體幾何的重要性，以後Kepler對(duì)二次曲線和正立體的興趣更指出天文物理和幾何的密切關(guān)係。微分幾何經(jīng)過(guò)種種的融合後將會(huì)是多姿多彩的，但是它能否有足夠豐富的結(jié)構(gòu)來(lái)迎合近代物理時(shí)空量子化的需要，這是一個(gè)意義深長(zhǎng)的問(wèn)題，有人建議用非交換幾何的架構(gòu)，有人建議碎形幾何，讓我們拭目以待罷。更進(jìn)一步的問(wèn)題是，什麼時(shí)候可以決定一個(gè)流形是某些自然結(jié)構(gòu)的?？臻g。我想在這個(gè)問(wèn)題上，高維拓?fù)涞睦碚摃?huì)重新發(fā)現(xiàn)它的重要性。我們需要一個(gè)通盤的考慮，將算術(shù)幾何、代數(shù)幾何、微分幾何、分析和弦理論的保角場(chǎng)理論結(jié)合在CalabiYau流形上來(lái)討論。在這方面最著名的定理是Mori在有理曲線方面的著名工作。算術(shù)和幾何的互動(dòng)無(wú)可避免會(huì)考慮Arakalov幾何和由此引出的微分幾何問(wèn)題?；旧?，幾何學(xué)家應(yīng)當(dāng)有宏觀的視野，表面上不同的結(jié)構(gòu)可藏有深入的聯(lián)繫。它們的?？臻g如何描述？Hodge結(jié)構(gòu)和Torelli定理就是很重要的關(guān)鍵，它在高維空間的推廣和在vector bundle的意義是值得發(fā)展的方向。如何知道一個(gè)拓?fù)渫{(diào)類可以由代數(shù)子流形來(lái)表示，這是一個(gè)困擾了數(shù)學(xué)家大半世紀(jì)以上的問(wèn)題，它在數(shù)論上亦占一個(gè)重要地位，在未來(lái)的世紀(jì)裏它應(yīng)該得到解決。Donaldson對(duì)這些?？臻g的瞭解是他的理論成功的一個(gè)原因。代數(shù)幾何的工具可以計(jì)算Donaldson不變量。他們有重要的物理意義，Donaldson 的不變量是從規(guī)範(fàn)場(chǎng)的?？臻g引出，上述的弦理論在代數(shù)幾何上的應(yīng)用是從全純映射的模空間得出，如何暸解這些?？臻g的拓?fù)湟饬x是極為重要的。除了研究幾何結(jié)構(gòu)的?？臻g外，還有規(guī)模場(chǎng)、子流形和全純映射空間的模空間，周煒良在代數(shù)子流形模空間上有偉大的貢獻(xiàn)。我相信非線性微分方程，幾何穩(wěn)定性和幾何結(jié)構(gòu)的交匯是一個(gè)很基本的問(wèn)題，在未來(lái)的幾十年裏將會(huì)有深入的互動(dòng)，更可以想像的是它跟物理學(xué)上的renormalization flow會(huì)有密切關(guān)係。我曾經(jīng)提出一系列的研究這個(gè)問(wèn)題的方法，我的研究生例如田剛、羅華章等的博士論文都與這個(gè)問(wèn)題有關(guān)，但這個(gè)問(wèn)題還待深入理解。hler的常數(shù)倍來(lái)表示，則K228。以後李駿、鄭方陽(yáng)和我更利用這個(gè)定理用來(lái)解決一個(gè)重要的複曲面的問(wèn)題。二十多年前,我考慮Calabi猜測(cè)這個(gè)問(wèn)題,解決了相當(dāng)廣泛的代數(shù)流形上的Kahler Einstein度量的存在性問(wèn)題,在差不多同時(shí)，代數(shù)幾何學(xué)家Bogomolov和 Miyaoka利用代數(shù)穩(wěn)定性理論亦可以得出類似的不等式,所以我開始尋找代數(shù)流形穩(wěn)定性和Kahler 。在Geometric invariant theory 的理論中，引進(jìn)了結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的觀念，就是為了對(duì)付這個(gè)問(wèn)題。在研究這些結(jié)構(gòu)時(shí),我們要考慮它的?？臻g,一般來(lái)說(shuō),有意義的幾何結(jié)構(gòu)的?？臻g是有限維的。物理學(xué)家很重視這些具有超對(duì)稱的結(jié)構(gòu),給我們帶進(jìn)新的觀念,但是微分方程還是主要的工具。二十年前我建議Hamilton用他的方程來(lái)創(chuàng)造幾何結(jié)構(gòu),並解決Thurston的問(wèn)題由於Hamilton頑強(qiáng)的分析能力, Hamilton方程能夠發(fā)揮威力來(lái)解決三維甚至四維拓?fù)涞墓爬蠁?wèn)題。但是可以看出微分幾何會(huì)是物理、方程跟拓?fù)浣Y(jié)合在一起的領(lǐng)域。我們希望微分方程能夠幫忙：橢圓系統(tǒng)存在性運(yùn)用於低維的拓?fù)鋵W(xué)上會(huì)有宏大的威力。微分方程學(xué)常問(wèn)什麼時(shí)候存在解？事實(shí)上在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上，一個(gè)主要的突破是找到存在性定理的證明。三維空間的問(wèn)題是一個(gè)很基本的問(wèn)題，我想這裏面有一個(gè)很重要的工具還沒(méi)有完全掌握的。但可以確信的是，低維空間的幾何和拓?fù)湎⑾⑾嚓P(guān)。由於複曲面是四維空間最基本的例子,任何四維空間的結(jié)構(gòu)性理論都將與複結(jié)構(gòu)有關(guān),橢圓方程理論應(yīng)當(dāng)想辦法找出可積的複結(jié)構(gòu)的條件。很多四維甚至三維空間的問(wèn)題由Seiberg－Witten不變量得到解決。究竟Taubes定理在高維空間有沒(méi)有好的推廣仍然懸而未決。Seiberg－Witten理論的最重要的定理是Taubes定理。Seiberg－Witten不變量跟原來(lái)Donaldson的不變量關(guān)係密切，但有驚人的簡(jiǎn)化。這兩年來(lái)極為流行，在代數(shù)拓?fù)?、微分幾何跟代?shù)幾何發(fā)展裏面是一個(gè)很重要的工具。到了Kronheimer和Mrowka將這個(gè)公式搞清楚了以後，Witten才用路徑積分的方法來(lái)瞭解Donaldson的不變量究竟在物理上是什麼意義。他們將Donaldson 的多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)搞得很清楚，引起了Witten的注意，Witten企圖要從量子場(chǎng)論來(lái)解釋這個(gè)公式?？墒俏覀兓逗闷嫘?，發(fā)展了一套美麗的一般理論，然後解決了拓?fù)鋵W(xué)上重要的問(wèn)題。這是很重要的貢獻(xiàn)，他解決了四維空間裏一個(gè)很重要的拓?fù)鋵W(xué)問(wèn)題。Uhlenbeck首先考慮一般空間上的規(guī)範(fàn)場(chǎng)的性質(zhì)，而Taubes用Singular perturbation的方法更證明一個(gè)很重要的存在性定理。以前物理學(xué)家只討論上的規(guī)範(fàn)場(chǎng)，問(wèn)Yang—Mills方程的解的維數(shù)有多少或者怎樣去描述解的樣子。七十年代中葉才將Atiyah－Singer 的理論用到Y(jié)ang－Mills理論上去，得到長(zhǎng)遠(yuǎn)的進(jìn)步。Yang－Mills理論考慮規(guī)範(fàn)場(chǎng)的曲率，將它平方積分然後做變分得到Y(jié)angMills方程。事實(shí)上數(shù)學(xué)家對(duì)規(guī)範(fàn)場(chǎng)論的觀念很早就有了。YangMills理論在物理上有基本性的貢獻(xiàn)。變成拓?fù)鋵W(xué)上的演算法。事實(shí)上這是橢圓微分算子指標(biāo)的問(wèn)題。有了RiemannRoch定理，AtiyahSinger將它普遍化成index theory。到了五十年代由於Sheaf 理論和特徵類的發(fā)展，Hirzebruch成功地將它推廣到高維空間。通過(guò)特徵類，我們可以得到由K群到同調(diào)群的一個(gè)很重要的映射，這映射與RiemannRoch定理有密切關(guān)係，這定理可以解決代數(shù)流形上的存在性問(wèn)題，它能夠計(jì)算代數(shù)方程的解。 決定了流形的結(jié)構(gòu)後，我們要研究它上面的規(guī)範(fàn)場(chǎng)，由不同的vector bundle可以得到不同的YangMills場(chǎng)。微分幾何從古至今都期望從局部的結(jié)構(gòu)來(lái)瞭解大範(fàn)圍的幾何結(jié)構(gòu)，這也是物理學(xué)家的期望，他們希望由微小的粒子理論和微分方程來(lái)推導(dǎo)宇宙的結(jié)構(gòu)，可見物理學(xué)家跟幾何學(xué)家有很多共同的想法。Pontryagin 和陳省身更進(jìn)一步考慮實(shí)數(shù)和複數(shù)空間的特徵類。他考慮了Classifying space 的觀念並研究Grassmanian空間及它的同調(diào)群，因此引進(jìn)了特徵類。Whitney考慮了tangent bundle, normal bundle 和一般的vector bundle 的觀念。為瞭解如何處理整體微分幾何的問(wèn)題，Cartan,Whitney等引進(jìn)了很多重要的觀念，其中纖維束和特徵類是其中最重要的。高維空間複流形和代數(shù)幾何的發(fā)展息息相關(guān)，homology的觀念和代數(shù)Cycle的理論相關(guān)而互相輔導(dǎo)，Lefschetz Pencil和