幾何學(xué)的未來發(fā)展(編輯修改稿)
2024-10-22 14:41 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 發(fā)展產(chǎn)生了很大的刺激，整體微分幾何跟廣義相對論因此有著密切的關(guān)係。在黎曼幾何本身，我們當(dāng)然能夠找到有意義和漂亮的問題，可是有一些觀念，幾何學(xué)家沒法單憑幾何直覺得出。到了物理學(xué)家要追求一些實際的問題時候，我們才瞭解它的重要性和解決它的可能性。十多年前，我跟一個朋友做一個廣義相對論上的題目，這是一個好幾十年的老問題。當(dāng)時幾何學(xué)家不太懂這個問題，物理學(xué)家向我們解釋清楚以後，我們才知道，它的特殊情形基本上是一個幾何問題。因此我們對它有很濃厚的興趣。我們將它用幾何的方法解決以後，才去處理物理學(xué)家要求的原始問題，我們從古典幾何的觀念來看這個問題的一般情形時，我們認(rèn)為這是不可思議的。事實上，當(dāng)我們將這個問題全部解決了以後，一個很有名的幾何學(xué)家還堅持這不可能是對的，可以見到古典幾何的直覺有一定的規(guī)限。反過來說，物理學(xué)家也有他們的規(guī)限，例如剛才講這個問題，他們想了很久也沒有辦法解決，而我們用幾何的方法卻將它解決了。所以這是一個互補的情形，有些命題在我們來說幾乎是不可能對的，物理學(xué)家卻極力堅持，認(rèn)為物理的直觀會遇到挑戰(zhàn)，所以我們願意花很大的功夫去瞭解它。假設(shè)當(dāng)時物理學(xué)家沒有極力堅持的話，恐怕我們不可能花這麼多時間去考慮它。以後物理學(xué)家引進(jìn)超引力的觀念，簡化了上述問題的證明，反過來對幾何學(xué)有很大的幫助。Einstein的引力理論給幾何注進(jìn)新的生命，物理學(xué)和數(shù)學(xué)的交流至為重要，這是幾何發(fā)展的一部分，這條路線會走下去，這是無可置疑的。未來半個世紀(jì)，幾何學(xué)家會解決從古典廣義相對論裏面出現(xiàn)的問題，物理學(xué)家大概發(fā)覺這方面的數(shù)學(xué)問題有相當(dāng)?shù)睦щy性，所以不大願意做古典廣義相對論的理論問題。他們的興趣是時空的量子化，這當(dāng)然是很重要的，它是統(tǒng)一場論的最關(guān)鍵問題：也產(chǎn)生了很多有意義的幾何問題，例如熵的定義就是一個有挑戰(zhàn)性的命題。古典的Einstein方程是一個很漂亮的方程，產(chǎn)生了很多重要而有意義的幾何現(xiàn)象。其中最重要的是時空的奇異點問題。這幾十年來數(shù)學(xué)家研究奇異點，在代數(shù)幾何方面有很長遠(yuǎn)的進(jìn)步。一個很出名的定理是Hironaka 的Resolution of singularity，這是三十年前做的，與微分幾何不同的地方是代數(shù)幾何的奇異點是比較容易定義的。因為代數(shù)流型是用一組多項式定義的，流型本身可以定義奇異點。代數(shù)幾何學(xué)家有很有效的方法來瞭解奇異點的結(jié)構(gòu)。另一方面Mather 和Arnold等好幾個數(shù)學(xué)家考慮了所謂平滑奇異點(smooth singularity)的問題；不一定由多項式定義，而是由平滑函數(shù)（smooth function）定義。他們引進(jìn)了很多拓?fù)鋵W(xué)的工具。基本上的方法還是變成多項式的情形來解決?？墒沁@些方法對於時空的奇異點問題暫時沒有幫助。研究一般性的奇異點，無論在物理上、微分方程上或者幾何上，都是基本的問題，這些研究正在萌芽，可是對於真正瞭解它們還是相差很遠(yuǎn)。例如在廣義相對論裏，奇異點沒有一個很好的定義。我們知道奇異點是在時空的邊界上，跟我們現(xiàn)在所看到的Minkowski時空是不同的。這是簡單的事實，它的局部性質(zhì)跟一般時空不一樣，但我們不瞭解他們的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，連該問的問題我們都不太清楚，真是一個很困擾的狀況。廣義相對論的進(jìn)步，要依靠我們對微分方程的瞭解。為什麼呢？因為古典的廣義相對論本身是由Einstein方程來決定的。假如我們脫離了Einstein方程，得出來的結(jié)論只不過是一個抽象的架構(gòu)，不能夠說符合廣義相對論的要求。不幸的是Einstein方程式是一個很複雜的非線性雙曲線方程組。我們對它的瞭解極為薄弱。我們希望能夠從Einstein方程得到時空的奇異點觀念。當(dāng)Cauchy problem 的初始值是光滑的時候，時間向前走，我們要問奇異點是怎樣產(chǎn)生的。瞭解了奇異點產(chǎn)生的機制，我們才能瞭解奇異點的結(jié)構(gòu)。在廣義相對論裏，有兩個重要的奇異點：一個就是黑洞，一個就是裸的奇異點(naked singularity)。這兩個不同的奇異點有濃厚的物理意義，我們期望從方程上能夠瞭解他們。當(dāng)初始值光滑時，這兩種奇異點如何產(chǎn)生。對一般的光滑初始值，裸奇異點可否出現(xiàn)？這是古典相對論最重要的問題。一般物理學(xué)家研究黑洞時，用幾個主要的解來解釋它們的特性，這就是Schwarzschild的解和Kerr的解，可是這兩個解不見得有一般性。我們希望從微分方程或者幾何的觀點來瞭解這些一般解的性質(zhì)。例如證明星雲(yún)毀減時，時空會漸近一些基本解，或者在這些解集合裏跳躍，也希望知道這些基本解奇異點的結(jié)構(gòu)。找出奇異點的結(jié)構(gòu)，不單對黑洞本身的瞭解有重要意義，重力輻射(gravitation radiation)的問題也會得到幫助?，F(xiàn)在的觀察儀器差不多可以觀察到重力輻射。可是從觀察得到的資料的意義，還不清楚。因為無論從理論上或計算數(shù)學(xué)上，我們都沒有辦法從Einstein方程裏將輻射公式很透徹地瞭解。這個問題跟奇異點應(yīng)該有關(guān)，在這幾十年內(nèi)希望能有很大的進(jìn)展。我們看到的幾何現(xiàn)象都會有某種奇異點。我們怎麼去分類它？奇異點有不同的類型，一種是人為的，一種是自然的，這兩類奇異點我們都要去研究。人為的奇異點在工程計算往往會出現(xiàn)，而自然的奇異點則從物理方程可以推導(dǎo)出來。Einstein方程裏邊的奇異點是最困難的問題。規(guī)範(fàn)場的座標(biāo)沒有選好也可以得出奇異點。Einstein方程不單是一個最重要的非線性微分方程，也影響時空的拓?fù)洌瑢ξ⒎謳缀螌W(xué)家來說是一個挑戰(zhàn)，因為奇異點可以將時空的拓?fù)湮 Ｒ话銇碚f，微分幾何從幾個背景來建立我們的理論，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)就是最重要的背景。當(dāng)奇異點破壞了這個背景時，我們有時會手足無措。微分幾何學(xué)家對拓?fù)鋵W(xué)一直都很重視?，F(xiàn)在講最近拓?fù)鋵W(xué)的走向，跟微分幾何的關(guān)係。微分幾何跟拓?fù)鋵W(xué)的密切關(guān)係可溯源至Euler公式和Poincare天文物理的研究。而複分析卻是微分拓?fù)涿妊康囊粋€關(guān)鍵。它在十九世紀(jì)已經(jīng)有很深入的發(fā)展，不過很多自然的複函數(shù)有單值化的問題。例如log函數(shù)在平面上有branch cut，所以複數(shù)分析要處理這個問題。從此處可以引出monodromy群對同調(diào)群的作用和整體拓?fù)鋵W(xué)的一個發(fā)展，其實monodromy群可以看作規(guī)範(fàn)場理論的一部分。用monodromy群來控制整體幾何和代數(shù)系統(tǒng)仍然是一個蓬勃的方向，通過群表示理論，它在幾何學(xué)裏起著很大的功用。由複分析理論引出黎曼曲面的理論，可以說是近代拓?fù)涞牡谝粔K基石，我們開始研究外微分形式的週期問題，例如dlog可以在C\{0}上定義而且在任何繞零的閉曲線有同樣的週期，這影響了de Rham定理的發(fā)現(xiàn)。拓?fù)鋵W(xué)和複數(shù)分析結(jié)合起來以後產(chǎn)生了複幾何。高維空間複流形和代數(shù)幾何的發(fā)展息息相關(guān)，homology的觀念和代數(shù)Cycle的理論相關(guān)而互相輔導(dǎo)，Lefschetz Pencil和Morse 理論的發(fā)展也是互助的。二十世紀(jì)初期對流體方程和電磁方程的研究，使得幾何學(xué)家引進(jìn)了Hodge理論，以後的YangMills理論源于高能物理方程，卻可以看成為非交換的Hodge理論。為瞭解如何處理整體微分幾何的問題，Car
規(guī)章制度相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1