幾何學(xué)的未來發(fā)展-資料下載頁
2025-09-25 14:41本頁面
【正文】 定理不能概括所有三維拓?fù)?。二十年前我建議Hamilton用他的方程來創(chuàng)造幾何結(jié)構(gòu),並解決Thurston的問題由於Hamilton頑強(qiáng)的分析能力, Hamilton方程能夠發(fā)揮威力來解決三維甚至四維拓?fù)涞墓爬蠁栴}。偶數(shù)維空間都與複幾何有關(guān),(1)和sp(2)(7),而他們之間息息相關(guān)。物理學(xué)家很重視這些具有超對稱的結(jié)構(gòu),給我們帶進(jìn)新的觀念,但是微分方程還是主要的工具。如何證明這些結(jié)構(gòu)的存在性是極為有意義的分析問題,這些自然的幾何結(jié)構(gòu)很有可能具有某些簡單的奇異點,這些奇異點往往有自然的物理和幾何意義,我們一定要解釋它在整體空間的地位。在研究這些結(jié)構(gòu)時,我們要考慮它的模空間,一般來說,有意義的幾何結(jié)構(gòu)的?？臻g是有限維的。同時在可能的情形下，保持Hausdorff的性質(zhì)。在Geometric invariant theory 的理論中，引進(jìn)了結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的觀念，就是為了對付這個問題。有時為了達(dá)到結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定，我們可能在原來的結(jié)構(gòu)上再加其他新的構(gòu)造。二十多年前,我考慮Calabi猜測這個問題,解決了相當(dāng)廣泛的代數(shù)流形上的Kahler Einstein度量的存在性問題,在差不多同時，代數(shù)幾何學(xué)家Bogomolov和 Miyaoka利用代數(shù)穩(wěn)定性理論亦可以得出類似的不等式,所以我開始尋找代數(shù)流形穩(wěn)定性和Kahler 。在holomorphic vector bundle穩(wěn)定的情形下，我們證明它有Hermitian Yang Mills場，這是一個很重要的結(jié)論，無論在物理學(xué)上和在代數(shù)幾何學(xué)上都有它的貢獻(xiàn)。以後李駿、鄭方陽和我更利用這個定理用來解決一個重要的複曲面的問題。因此我進(jìn)一步猜測假如第一陳類可用K228。hler的常數(shù)倍來表示，則K228。hler Einstein 度量的存在性和流形本身的穩(wěn)定性等價，在我的討論班上，這是一個主要的討論項目。我曾經(jīng)提出一系列的研究這個問題的方法，我的研究生例如田剛、羅華章等的博士論文都與這個問題有關(guān)，但這個問題還待深入理解。我認(rèn)為幾何穩(wěn)定性理論除了對複幾何外，對一般非線性方程亦會有貢獻(xiàn)。我相信非線性微分方程，幾何穩(wěn)定性和幾何結(jié)構(gòu)的交匯是一個很基本的問題，在未來的幾十年裏將會有深入的互動，更可以想像的是它跟物理學(xué)上的renormalization flow會有密切關(guān)係。當(dāng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定後，我們希望將全部結(jié)構(gòu)完成一個緊致空間，因此要引進(jìn)半穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的觀念，而這些結(jié)構(gòu)可以看做?？臻g的邊界,也因此一般來說它們有奇異點,這種自然產(chǎn)生的奇異點是微分幾何學(xué)裏面重要的奇異點,在這些空間上,研究它們的幾何結(jié)構(gòu),規(guī)範(fàn)場和子流行是很有意思的事情,往往經(jīng)過singular perturbation後,我們對原來光滑的幾何結(jié)構(gòu)會有更深入的瞭解。除了研究幾何結(jié)構(gòu)的?？臻g外，還有規(guī)模場、子流形和全純映射空間的?？臻g，周煒良在代數(shù)子流形?？臻g上有偉大的貢獻(xiàn)。這些模空間的拓?fù)浜完愂项惗际谴鷶?shù)流形的重要不變量。他們有重要的物理意義，Donaldson 的不變量是從規(guī)範(fàn)場的?？臻g引出，上述的弦理論在代數(shù)幾何上的應(yīng)用是從全純映射的?？臻g得出，如何暸解這些?？臻g的拓?fù)湟饬x是極為重要的。事實上，Donaldson理論的一個重要起點在於Hermitian Yang Mill和antiselfdual connection 的等價性，而後者在一般的四維流形亦可定義，其?？臻g在generic的黎曼度量下最為清楚。代數(shù)幾何的工具可以計算Donaldson不變量。而後者讓Donaldson證明它是微分不變量。Donaldson對這些?？臻g的瞭解是他的理論成功的一個原因。代數(shù)幾何學(xué)裏一個最重要的問題乃是Hodge猜測。如何知道一個拓?fù)渫{(diào)類可以由代數(shù)子流形來表示，這是一個困擾了數(shù)學(xué)家大半世紀(jì)以上的問題，它在數(shù)論上亦占一個重要地位，在未來的世紀(jì)裏它應(yīng)該得到解決。與此相關(guān)的一個極為重要的問題問：複的vector bundle 在甚麼流形下有全純結(jié)構(gòu)？及複流形什麼時候存在可積的複結(jié)構(gòu)？這都是極為重要的問題。它們的?？臻g如何描述？Hodge結(jié)構(gòu)和Torelli定理就是很重要的關(guān)鍵，它在高維空間的推廣和在vector bundle的意義是值得發(fā)展的方向。弦理論引進(jìn)了奇妙的對偶觀念，我們需要深入地瞭解其中的幾何意義，這些對偶將上述各種幾何結(jié)構(gòu)、規(guī)範(fàn)場和子流形漂亮地連結(jié)起來而得到出乎意表的結(jié)果，我們不可能漠視他們的重要性?；旧?，幾何學(xué)家應(yīng)當(dāng)有宏觀的視野，表面上不同的結(jié)構(gòu)可藏有深入的聯(lián)繫。算術(shù)幾何的發(fā)展使代數(shù)幾何開闊了視野，它引進(jìn)了重要的工具，也漸漸地影響了微分幾何的看法，尤其是CalabiYau流形與算術(shù)幾何的關(guān)係日益密切，弦理論的對偶理論和算術(shù)幾何的L函數(shù)的發(fā)展應(yīng)當(dāng)指日可待。算術(shù)和幾何的互動無可避免會考慮Arakalov幾何和由此引出的微分幾何問題。有限域上的幾何可以提供微妙的方法來瞭解一般代數(shù)流形的性質(zhì)。在這方面最著名的定理是Mori在有理曲線方面的著名工作。我們希望能夠從不同的角度用幾何方法來瞭解Frobenius ，顯示它在算術(shù)上的關(guān)係將會愈來愈密切。我們需要一個通盤的考慮，將算術(shù)幾何、代數(shù)幾何、微分幾何、分析和弦理論的保角場理論結(jié)合在CalabiYau流形上來討論。Shimura流形在算術(shù)幾何和分析中有很重要的應(yīng)用，但我們對它的拓?fù)浜头N種幾何性質(zhì)瞭解並不清楚。我想在這個問題上，高維拓?fù)涞睦碚摃匦掳l(fā)現(xiàn)它的重要性。舉例來說，如何決定一個流形拓?fù)渑cShimura variety同胚是一個有趣的問題。更進(jìn)一步的問題是，什麼時候可以決定一個流形是某些自然結(jié)構(gòu)的?？臻g。研究?？臻g的拓?fù)湫再|(zhì)需要融合幾何幾個不同領(lǐng)域的學(xué)問，它的intersection cohomology和 L2 cohomology的關(guān)係就是一個例子。微分幾何經(jīng)過種種的融合後將會是多姿多彩的，但是它能否有足夠豐富的結(jié)構(gòu)來迎合近代物理時空量子化的需要，這是一個意義深長的問題，有人建議用非交換幾何的架構(gòu)，有人建議碎形幾何，讓我們拭目以待罷。開始時，我談到幾何的發(fā)展受到應(yīng)用數(shù)學(xué)的影響。在古代測量地形和建造房屋、金字塔的時候很明顯地意識到平面和立體幾何的重要性，以後Kepler對二次曲線和正立體的興趣更指出天文物理和幾何的密切關(guān)係。自從古典力學(xué)和工程學(xué)得到良好的結(jié)合以後，很多自然界的現(xiàn)象，例如水流、湍流、光波散射的種種問題都得到某些認(rèn)識並引出優(yōu)美的幾何現(xiàn)象，例如geometric optics和孤立子Soliton等理論都是很有意思的問題，近代電腦的進(jìn)步影響了圖論的發(fā)展，更引進(jìn)了很多幾何的觀念，而pattern recognition, puter graphics更是直接的用到幾何的方法，例如多維圖形的剖分，離散群和格點的分佈等等，可以見到幾何學(xué)家不應(yīng)忽視工程上的問題。微分幾何確是一門豐富的學(xué)問，本文並未概括所有有意義的工作，但已經(jīng)看出二十一世紀(jì)的幾何學(xué)將會是數(shù)學(xué)和一般科學(xué)的中心。2004年10月18日25
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