【正文】 綜上所述，得(X,Y)聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x,y)={0,x1或y11/4,1≤x2,1≤y05/12,x≥2,1≤y01/2,1≤x2,y≥01,x≥2,y≥0.(3)由FX(x)=P{X≤x,Y+∞}=∑xix∑j=1+∞pij, 得(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為：
。④當(dāng)1≤x2,y0時， F(x,y)=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=0}=1/2。②當(dāng)1≤x2,1≤y0時，F(xiàn)(x,y)=P{X=1,Y=1}=1/4。11/21/4x21/81/41/8y3y1解答：由題設(shè)X與Y相互獨立，即有 pij=pi?p?j(i=1,2。p?j1/6x1pi?y203/709/703/702/7018/7018/702/703/709/703/700習(xí)題4設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨立，下表列出了二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律及關(guān)于X與Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處：X\Y0123習(xí)題2假設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，隨機(jī)變量 Xk={0,若Y≤k1,若Yk(k=1,2),求(X1,X2)的聯(lián)合分布率與邊緣分布率.解答：因為Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，X1={0,若Y≤11,若Y1, 所以有 P{X1=1}=P{Y1}=∫1+∞eydy=e1, P{X1=0}=1e1,同理 P{X2=1}=P{Y2}=∫2+∞eydy=e2, P{X2=0}=1e2,因為 P{X1=1,X2=1}=P{Y2}=e2， P{X1=1,X2=0}=P{X1=1}P{X1=1,X2=1}=e1e2, P{X1=0,X2=0}=P{Y≤1}=1e1, P{X1=0,X2=1}=P{X1=0}P{X1=0,X2=0}=0,故(X1,X2)聯(lián)合分布率與邊緣分布率如下表所示：X1\slashX201P{X1=i}01e101e11e1e2e2e1P{X2=j}1e2e201 P{X=1,Y=0}=2101212=536,P{X=0,Y=1}=1021212=536, P{X=1,Y=1}=221212=136,(2)不放回抽樣，(X,Y)的分布律如下：P{X=0,Y=0}=1091211=4566, P{X=0,Y=1}=1021211=1066,P{X=1,Y=0}=2101211=1066, P{X=1,Y=1}=211211=166,Y\=[P{Xa}]2[P{Xb}].=1[P{Xz}]2,代入得=1P{Xz,Yz}=1P{Xz}P{Yz}P{amin{X,Y}≤b}=FZ(b)FZ(a),?(z)={(α+β)e(α+β)z,z00,z≤0.習(xí)題9設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨立，且服從同一分布，試明：F(z)={1e(α+β)z,z≥00,z0,從而故由于=1[1P{Xz}][1P{Yz}]=1[1F1{z}][1F2{z}]F(z)=P{Z≥z}=P{min(X,Y)≤z}則?2(y)={βeβy,y00,y≤0,其中α0,β0,α≠β,FU(u)={0,u0,(1eu)21e1,0≤u1,1eu,u≥1.習(xí)題8設(shè)系統(tǒng)L是由兩個相互獨立的子系統(tǒng)L1和L2以串聯(lián)方式聯(lián)接而成，L1和L2的壽命分別為X與Y,fY(x)={∫0111e1e(x+y)dx=ey,0y+∞,0,其它（3）因為f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X與Y獨立，故fX(x)={∫0+∞11e1e(x+y)dy=ex1ex,0x1,0,其它，∫01dx∫0+∞bexeydy=b(1e1)=1，所以b=11e1，從而fZ(z)={0,z≤01ez,0z≤1e1zez,z1.習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)={be(x+y),0x1,0y+∞,0,其它.（1）試確定常數(shù)b；（2）求邊緣概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函數(shù)U=max{X,Y}的分布函數(shù).解答：（1）由∫∞+∞∫∞+∞f(x,y)dxdy=1，確定常數(shù)b.故fZ(z)=∫0+∞0?eydy=0。fZ(z)=∫∞+∞fX(x)fY(zx)dx=∫∞+∞fX(zy)fY(y)dyfX(x)={1,0x10,其它,所以當(dāng)z≤0時，fZ(z)=0。即顯然={∫0+∞12(x+y)e(x+y)dy,x00,x≤0=12π∫∫x2+y2≤z2ex2+y22dxdy=12π∫02πdθ∫0zeρ22ρdρFZ(z)=P{X2+Y2≤z2}=∫∫x2+y2≤z2f(x,y)dxdyFZ(z)=P{Z≤z}=P{X2+Y2≤z}.當(dāng)z0時，F(xiàn)Z(z)=P(?)=0。f(x,y)=12πex2+y22,Z=X2+Y2,求Z的分布密度.解:1/401/41/2習(xí)題4設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布密度為01V={0,X≤2Y1,X2Y,求U與V的聯(lián)合概率分布.解答：依題(U,V)的概率分布為U={0,X≤Y1,XY,pi211/212pi1/101/57/10112pi20134pi20134(3)Z=X/Y。12112V\概率\U1可見P{U=i,V=j}=0(ij).此外，有P{a有實根}=12π[Φ(1)Φ(0)]≈=.所以Φ(0)=,=12π[12π∫∞1ex22dx12π∫∞0ex22dx]=∫01ex22dx=1[∫∞1ex22dx∫∞0ex22dx](2)因{a有實根}={判別式Δ2=4X24Y≥0}={X2≥Y},故如圖所示得到：P{∣X∣≤a}==P{X≤a}?P{∣X∣≤a},?P{∣X∣≤a}(1P{X≤a})=0?P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}?(?a0)但當(dāng)a0時，兩者均不成立，出現(xiàn)矛盾，故X與∣X∣不獨立.習(xí)題9設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機(jī)變量，X在(0,1)上服從均勻分布，Y的概率密度為fY(y)={12ey2,y00,y≤0,(1)求X與Y的聯(lián)合概率密度；(2)設(shè)有a的二次方程a2+2Xa+Y=0,故由上式有各有fY(y)=12πey22因為X與Y相互獨立，所以(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)是fX(x)=12πex22，=111216=34.習(xí)題6某旅客到達(dá)火車站的時間X均勻分布在早上7:55～8:00,P{X+Y≠0}=1P{X+Y=0}P{X+y=1}=P{X=2,y=3}+P{X=0,Y=1}=116+148=112,1/81/161/161/61/121/121/241/481/481/61/121/122101/21/21/41/4表(b)解答：由X與Y相互獨立知1/41/31/121/3表(a)fY∣X(y∣x)=f(x,y)fX(x)={1x,0yx0,其它.習(xí)題5X與Y相互獨立，其概率分布如表(a)及表(b)所示，求(X,Y)的聯(lián)合概率分布，P{X+Y=1},fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)={2x1y2,yx1,0,其它,對?x∈(0,1),fY(y)=∫∞+∞f(x,y)dx={32(1y2),0y10,其它.(2)對?y∈(0,1),求：(1)邊緣概率密度函數(shù)；(2)條件概率密度函數(shù).解答：(1)fX(x)=∫∞+∞f(x,y)dy={3x2,0x10,其它,4/703/7習(xí)題4012pkpk0123/81/37/24pk1/41/8001/301/601/8解答：由聯(lián)合分布律得關(guān)于X,Y的兩個邊緣分布律為X6/287/285/285/285/28習(xí)題3已知(X,Y)的分布律如下表所示，試求：(1)在Y=1的條件下,X的條件分布律。5152535455k=51,52,53,54,55.列表如下:k(2)當(dāng)Y=51時,X的條件分布律為5152535455pk將每列的概率相加，可得P{Y=j}.Y(2)求8月份的訂單數(shù)為51時，9月份訂單數(shù)的條件分布律.解答：(1)邊緣分布律為X51525354555152535455X\YP{x=0}=.因為P{x=0,y=0}≠P{x=0}?P{y=0},類似可得P{y=1∣x=0}=13.(3)已知P{x=0,y=0}=715,P{y=1}=∑i=01P{x=i,y=1}=130+115=.(2)P{y=0∣x=0}=P{x=0,y=0}P{x=0}=23,(3)判定X與Y是否獨立？解答：(1)由(x,y)的分布律知，y只取0及1兩個值.0101fY(y)=∫∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(yy),0≤y≤1,即fY(y)={6(yy),0≤y≤10,其它. 條件分布與隨機(jī)變量的獨立性習(xí)題1二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為X\Y即由題設(shè)知(X,Y)的聯(lián)合分布密度為f(x,y)={(2x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求邊緣概率密度fY(y).解答：fX(x)=∫∞+∞f(x,y)dyF(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函數(shù)F(x,y)在平面各區(qū)域的表達(dá)式F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.最后，設(shè)x1,0≤y≤1,有設(shè)0≤x≤1,0≤y≤1,(2)X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y).解答：(1)由于1=∫∞+∞∫∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.(2)當(dāng)x≤0或y≤0時，顯然F(x,y)=0。(4)求P{X+Y≤4}.解答：如圖所示(1)由∫∞+∞∫∞+∞f(x,y)dxdy=1,(2)求P{X1,Y3}。P{X≤Y}=12.習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)={k(6xy),0x2,2y40,其它,(1)確定常數(shù)k。 故 f(x,y)=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答：由于P{X≤Y}+P{XY}=1，且由正態(tài)分布圖形的對稱性，知其概率密度為pk01/31P{Y=13=112,P{Y=1}=13,關(guān)于的Y邊緣分布見下表：Y=0+16+512=712,同樣可求得5/1200(2)P{Y=0}=P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0}1/60001/121/3101/31X\Y{X=0,Y=13,{X=1,Y=0},故所給的一組實數(shù)必是某二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布. 因(X,Y)只取上述四組可能值，故事件：(0,0),(1,1),(1,13),(2,0)且相應(yīng)概率依次為16,13,112,512,=47+4737=57.習(xí)題5(X,Y)只取下列數(shù)值中的值： P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一個大于等于0}(3)F(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.習(xí)題4設(shè)X,Y為隨機(jī)變量，且(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4}。P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.習(xí)題3(2)：試求：(1)P{aX≤b,Y≤c}。a=2/9.習(xí)題2(1)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，試用F(x,y)表示：可知21123fY(y)={1y11,1y20,其它.第三章 多維隨機(jī)變量及其分布FY(y)={0,y11(1y1)2,1≤y2,1,其它Y的概率密度為=2∫0y1(1x)dx=1(1y1)2,從而Y的分布函數(shù)為 =P{Y1≤x≤y1}=∫y1y1(1∣x∣)dx FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}當(dāng)1≤y2時，fX(x)={1∣x∣,1x10,其它,求隨機(jī)變量Y=X2+1的分布函數(shù)與密度函數(shù).解答：X的取值范圍為(1,1),y=2x+3,x=y32,x′=12,由定理即得fX(x)={0,x02x3ex2,x≥0,求Y=