【正文】 11. 解下列微分方程或微分方程組： (1) 解：設(shè) 對方程兩邊取拉氏變換，得代入 得：用留數(shù)方法求解拉氏逆變換，有： (2) 解：設(shè) 對方程兩邊同時取拉氏變換，得代入初值條件，得：求拉氏逆變換得方程的解為： (3) 解：設(shè) 用拉氏變換作用方程兩邊，得：代入初值條件，有： 即： 因為 所以由卷積定理求拉氏逆變換得： (4) 解：設(shè) 用拉氏變換作用在方程兩邊得：將初始條件代入，得： 因為 所以 因此 故方程的解： (5) 解：設(shè) 對方程兩邊取拉氏變換，得：代入初始條件，整理得： ： 又因為 故 因為 所以方程的解 (6) 解：設(shè) 對方程組的每個方程兩邊分別取拉氏變換，并考慮到初始條件得： 求解該方程組得： 取拉式逆變換得原方程組的解為： (7) 解：設(shè) 對方程組的每個方程兩邊分別取拉氏變換，并考慮到初始條件得：整理計算得：下求的拉氏逆變換：因為 故由卷積定理可得同理可求 所以方程組的解為 (8) 解：設(shè) 對方程組的每個方程兩邊分別取拉氏變換，并考慮到初始條件得：解此方程組得：取拉氏逆變換得原方程組的解為：12. 求解積分方程 解：令 由卷積定理 知 將拉氏變換作用于原方程兩端，得：也即： 取拉式逆變換得原方程的解為： 。：(6) 解：設(shè) 顯然 查表知 故由卷積定理得：(7) 解：設(shè) 則 因為 所以 故 (8) 解：，因為 所以 即：8. 求下列函數(shù)的拉氏逆變換：(1) 解：由拉氏變換表知：所以 (2) 解：而 所以 (3) 解：設(shè) 則 設(shè) 則 由卷積定理知，所以 (4) 解：設(shè) 則 設(shè) 則 故 所以 (5) 解：因為 故由卷積定理知：又因為 所以 (6) 解：由拉氏變換表知：所以 9. 求下列卷積： (1) 解：`因為 所以 (2) （m, n為正整數(shù)）； 解： (3) 解： (4) 解： (5) 解：因為 當(dāng)時，故當(dāng) 時，即 (6) 解：設(shè) 則 所以當(dāng) 即 時，上式為0.當(dāng) 即 時，由函數(shù)的篩選性質(zhì)得：10. 利用卷積定理證明下列等式： (1) 證明：因為 故由卷積定理：也即 ，證畢。 除此外處處解析，且當(dāng)時， ： 下面來求留數(shù)。除此外處處解析，且當(dāng)時， ：法三：利用拉氏變換積分性質(zhì)求解。設(shè) 則而 由卷積定理知 法二：用留數(shù)求解。顯然在 內(nèi)有兩個2級極點。令，則 故由拉氏變換的微分性質(zhì)知：.故3. 利用拉氏變換的性質(zhì)計算下列各式： (1) 求解：因為所以由拉氏變換的位移性質(zhì)知： (2) 求解：設(shè) 則由拉氏變換的積分性質(zhì)知：再由微分性質(zhì)得：所以 4. 利用拉氏變換的性質(zhì)求 (1) 解：法一：利用卷積求解。令則由拉氏變換的微分性質(zhì)知：又因為所以 (8) 解：法一：利用拉氏變換的位移性質(zhì)。令 則由拉氏變換的微分性質(zhì)知：即 (4) 解：因為 故由拉氏變換的位移性知：(5) 解：故(6) 解：因為 即： 故(7) 解：法一：利用拉氏變換的位移性質(zhì)。 習(xí)題八1． 求下列函數(shù)的拉氏變換：(1) 解：由拉氏變換的定義知：(2) 解：由拉氏變換的定義以及單位脈動函數(shù)的篩選性質(zhì)知：2. 求下列函數(shù)的拉氏變換：(1) 解：由拉氏變換的線性性質(zhì)知：(2) 解：由拉氏變換的線性性質(zhì)和位移性質(zhì)知：(3) 解：法一：利用位移性質(zhì)。又 所以 從而 當(dāng)時， 當(dāng)時，總結(jié)上述，得 。證明：由于 所以 對上述積分作變換，則 8．證明下列各式：(1) （為常數(shù)）；(2) 證明：（1） （2） 9．計算下列函數(shù)和的卷積：(1) (2) (2) (2) 解: (1) 顯然，有 當(dāng)時，由于=0，所以 ；當(dāng)時， （2）顯然，有 所以，當(dāng) 或 或 時，皆有=0。解：(1) 由傅氏積分公式，當(dāng)時 所以，根據(jù)傅氏積分定理 (2) 由傅氏積分公式 所以，根據(jù)傅氏積分定理 5． 求下列函數(shù)的傅氏變換：(1) (2) (3) (4) 解：（1） (2) (3) 由于 所以 (4) 由于 所以 6． 證明：若其中為一實函數(shù)，則 其中為的共軛函數(shù)。習(xí)題七答案1． 試證：若滿足傅氏積分定理的條件，則有證明：根據(jù)付氏積分公式，有 2． 求下列函數(shù)的傅氏變換：（1） （2）（3） （4）解：（1）f(t)(2) (3)(4) 由于 所以3． 求下列函數(shù)的傅氏變換，并推證所列的積分等式。證明：令。 根據(jù)上述還可以得到，在環(huán)域內(nèi)有3個根。因為當(dāng)時，有 所以，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即1個。13．討論方程在與內(nèi)各有幾個根。 又當(dāng)時，有 所以，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即1個。12．證明方程有三個根在環(huán)域內(nèi)證明：令。 (3) 這里為函數(shù)在內(nèi)的零點數(shù)，為在內(nèi)的極點數(shù)。于是11．利用對數(shù)留數(shù)計算下列積分：解：（1），這里為函數(shù)在內(nèi)的零點數(shù)，為在內(nèi)的極點數(shù)。于是所以（5）解：顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次，且在實軸上沒有奇點，在上半平面內(nèi)只有一個奇點，且為1 級極點。于是（4）解： 顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次，且在實軸上沒有奇點，積分是存在的。于是（3）解：顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次，且在實軸上沒有奇點，積分是存在的。10．求下列各積分之值：（1）解：設(shè)則。 。 。（2）因為 所以 于是，是的本性奇點，且。函數(shù)的奇點為,，所以對于，內(nèi)都有的奇點，即以為環(huán)心的處處解析的圓環(huán)域不存在，所以函數(shù)不能在圓環(huán)域內(nèi)展開為洛朗級數(shù)．習(xí)題五答案1． 求下列各函數(shù)的孤立奇點，說明其類型，如果是極點，指出它的級．（1）解：函數(shù)的孤立奇點是，因 ，是函數(shù)的1級極點，均是函數(shù)的2級極點．（2）解：函數(shù)