復(fù)變函數(shù)習(xí)題答案(參考版)
2025-06-28 19:56本頁(yè)面
【正文】 =所以，當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí)，有同理，當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時(shí)，有.其中 ，.解:.解:解：(2)解：因?yàn)樗愿鶕?jù)傅里葉變換的微分性質(zhì)可得(3)解：(4)解:令，則在上半平面有兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn).故.(5) 解:同(4).利用留數(shù)在積分中的應(yīng)用,令則.(t)是解析函數(shù)，證明當(dāng)時(shí)，有對(duì)所有的實(shí)數(shù)t成立.(書(shū)上有推理過(guò)程) 的傅里葉變換.解:因?yàn)榘押瘮?shù).不難看出 故：解:(t)的傅里葉變換，a為一常數(shù). 證明F當(dāng)a0時(shí),令u=當(dāng)a0時(shí),令u=at,則.故原命題成立..證明：，證明：以及證明：同理：計(jì)算.解：當(dāng)時(shí)，若則故=0.若則若則故習(xí)題八1. 求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.(1)， (2)， (3)(4)， (5)解: (1) (2) (3) (4) (5) 2. 求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.(1) (2)解: (1) (2) 3. 設(shè)函數(shù),其中函數(shù)為階躍函數(shù), 求的拉普拉斯變換.解:4. 解：5. 求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.(1) (2)(3)(4)(5) (6(7) (8) 解:(1)(2)(4)(5) (6)(7)(8)，對(duì)常數(shù)，若，證明證明:7 記，證明:證明：當(dāng)n=1時(shí),所以，當(dāng)n=1時(shí), 顯然成立。(n1))一級(jí)極點(diǎn)由于∴(2) c:|z|=2取正向．解：因?yàn)樵赾內(nèi)有z=1，z=i兩個(gè)奇點(diǎn)．所以6. 計(jì)算下列積分．(1)因被積函數(shù)為θ的偶函數(shù)，所以令則有設(shè) 則被積函數(shù)在|z|=1內(nèi)只有一個(gè)簡(jiǎn)單極點(diǎn)但所以又因?yàn)椤?2) ，|a|1．解：令 令z=eiθ．，則得(3)，a0，b0．解：令，被積函數(shù)R(z)在上半平面有一級(jí)極點(diǎn)z=ia和ib．故4. ，a0．解：令，則z=177。1,177。所以在內(nèi)，的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的系數(shù)是實(shí)數(shù)..解:函數(shù)有奇點(diǎn)與,有三個(gè)以為中心的圓環(huán)域,：.解:令則而在內(nèi)展開(kāi)式為所以,代入可得,并根據(jù)運(yùn)算做出如下結(jié)果因?yàn)?所以有結(jié)果你認(rèn)為正確嗎?為什么?答:不正確,因?yàn)橐蠖笏?在不同區(qū)域內(nèi): 用z的冪表示的羅朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的系數(shù)為證明:因?yàn)楹褪堑钠纥c(diǎn)，所以在內(nèi)，的羅朗級(jí)數(shù)為其中其中C為內(nèi)任一條繞原點(diǎn)的簡(jiǎn)單曲線.22. 是函數(shù)的孤立奇點(diǎn)嗎?為什么?解: 因?yàn)榈钠纥c(diǎn)有所以在的任意去心鄰域，總包括奇點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，z=0。若則，從而在單位圓上等于，是收斂的，這與收斂半徑的概念矛盾。(1) (2) (3) (4) 解: (１)收斂圓周(2) 所以收斂圓周(3) 記 由比值法,有要級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,收斂半徑為所以收斂圓周(4) 記 所以時(shí)絕對(duì)收斂,收斂半徑收斂圓周.(1) (2) 解: (1)故收斂半徑R=1,由逐項(xiàng)積分性質(zhì)，有：所以于是有：(2) 令：故R=∞, 由逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)由此得到即有微分方程故有：， A, B待定。解： 因?yàn)樗?：若冪級(jí)數(shù)的 系數(shù)滿足，則(1)當(dāng)時(shí), (2) 當(dāng)時(shí), (3) 當(dāng)時(shí), 證明：考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)由于，若，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的根值判別法知，當(dāng)，即，收斂。(2) 沿單位圓周|z|=1的左半圓周，從點(diǎn)i到點(diǎn)i。故即u=C2從而f(z)為常數(shù).(4) Imf(z)=常數(shù).證明：與（3）類似，由v=C1得因?yàn)閒(z)解析，由CR方程得,即u=C2所以f(z)為常數(shù).5. |f(z)|=常數(shù).證明：因?yàn)閨f(z)|=C，對(duì)C進(jìn)行討論.若C=0，則u=0,v=0,f(z)=0為常數(shù).若C0，則f(z) 0,但，即u2+v2=C2則兩邊對(duì)x,y分別求偏導(dǎo)數(shù)，有利用CR條件，由于f(z)在D內(nèi)解析，有所以 所以即u=C1,v=C2,于是f(z)為常數(shù).(6) argf(z)=常數(shù).證明：argf(z)=常數(shù)，即,于是得 CR條件→ 解得，即u,v為常數(shù)，于是f(z)為常數(shù).8. 設(shè)f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在
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