【正文】 AC = ADAC = ADABsinA∴S△ABC = ACsin60o = 8= 4（海里）答：船再前進(jìn)4海里就與C最近，最近距離是4海里.規(guī)律80. 0o、30o、45o、60o、90o角的三角函數(shù)值表三角函數(shù)0o30o45o60o90o011001－－10另外：0o、30o、45o、60o、90o的正弦、余弦、正切值也可用下面的口訣來(lái)記憶：0o可記為北京電話區(qū)號(hào)不存在，即：010不存在，90o正好相反30o、45o、60o可記為：1，27，弦比2，切比3，分子根號(hào)別忘添.其中余切值可利用正切與余切互為倒數(shù)求得.規(guī)律81. 同角三角函數(shù)之間的關(guān)系：（1）.平方關(guān)系： （2）.倒數(shù)關(guān)系：（3）.商數(shù)關(guān)系： 規(guī)律82. 任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.規(guī)律83. 任意銳角的正切值等于它的余角的余切值；任意銳角的余切值等于它的余角的正切值. .例：已知△ABC中,∠A = 60o,AB = 6,AC = 4,求△ABC的面積。EF∵AD∥BC∴∠M =∠MNC 又∵DE = CE ∠1 =∠2∴△CEN≌△DEM∴S△CEN = S△DEM∴S梯形ABCD = S五邊形ABNED＋S△CEN = S五邊形ABNED＋S△DEM，則菱形的周長(zhǎng)是較短對(duì)角線長(zhǎng)的4倍.例：已知，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120O.求證:AB = BD （證明略）相似形和解直角三角形部分（基本圖形如下）時(shí)，常作平行線.例：已知，如圖，AD為△ABC的中線，F(xiàn)為AB上任一點(diǎn)，CF交AD于E求證：證明：過(guò)F作FN∥BC交AD于N∴ 又∵CD = BD∴（有時(shí)也可在中線上截取線段）構(gòu)造平行四邊形.例：AD為△ABC的中線，E為AD上一點(diǎn)，BE、CE的延長(zhǎng)線分別交AC、AB于點(diǎn)M、N求證：MN∥BC 證明：延長(zhǎng)AD至F，使DF = DE，連結(jié)BF、CF，則四邊形BFCE為平行四邊形∴BF∥CN CF∥BM∴ ∴∴MN∥BC，涉及到以下情況時(shí)，常構(gòu)造直角三角形.⑴有特殊角時(shí)，如有30o、45o、60o、120o、135o角時(shí).⑵涉及有關(guān)銳角三角函數(shù)值時(shí).構(gòu)造直角三角形經(jīng)常通過(guò)作垂線來(lái)實(shí)現(xiàn).例：一輪船自西向東航行，在A處測(cè)得某島C在北偏東60o的方向上，船前進(jìn)8海里后到達(dá)B，再測(cè)C島在北偏東30的方向上，問(wèn)船再前進(jìn)多少海里與C島最近？最近距離是多少？解：由題可作圖，且∠CAB = 60o ，∠ABC = 120o ，AB = BC = 8（海里）在Rt△ABC中，BC = 8，∠CBD = 60o ，∴BD = BCBD = 4=答：.，常過(guò)中點(diǎn)作平行線，利用平行線等分線段定理的推論證題.例:已知：△ABC中，D為AB中點(diǎn)，E為BC的三等分點(diǎn)，（BE＞CE）AE、CD交于點(diǎn)F 求證：F為CD的中點(diǎn)證明：過(guò)D作DN∥AE交BC于N∵D為AB中點(diǎn)∴BN = EN又∵E為BC的三等分點(diǎn)∴BN = EN = CE∵DN∥AE∴F為CD的中點(diǎn).⑴有一邊中點(diǎn)；⑵有線段倍分關(guān)系；⑶有兩邊（或兩邊以上）中點(diǎn).例：如圖，AE為正方形ABCD中∠BAC的平分線，AE分別交BD、BC于F、E，AC、BD相交于O求證：OF =CE證明：取AE的中點(diǎn)N，連結(jié)ON,則ON為△ACE的中位線∴ON∥CE，ON =CE∴∠6 =∠ONE∵四邊形ABCD為正方形∴∠3 =∠4 = 45o∴∠5 =∠3＋∠1, ∠6 =∠4＋∠2∵∠1 =∠2 ∴∠5 =∠6∵∠6 =∠ONE∴∠ONE =∠5∴ON = OF∴OF =CE⑴有一腰中點(diǎn)⑵有兩腰中點(diǎn)⑶涉及梯形上、下底和例1：已知,如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB = 90o ,E為CD的中點(diǎn)，連結(jié)AE、BE求證：AE = BE 證明：取AB的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，則EF∥AD∴∠DAB =∠EFB =90o∴EF⊥AB∴EF為AB的中垂線∴AE = BE例2：從□ABCD的頂點(diǎn)ABCD向形外的任意直線MN引垂線AA’、BB’、CC’、DD’，垂足分別為A’、B’、C’、D’求證：AA’＋CC’ = BB’＋DD’證明：連結(jié)AC、BD，它們交于點(diǎn)O，過(guò)O作OE⊥MN于E，則AA’∥OE∥CC’∵四邊形ABCD為平行四邊形∴AO = CO∴A’E = C’E ∴AA’＋CC’ = 2OE同理可證：BB’＋DD’ = 2OE∴AA’＋CC’ = BB’＋DD’....、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各邊中點(diǎn)所得的四邊形分別為平行四邊形、菱形、矩形、正方形、菱形.，梯形的高等于兩底和的一半（或中位線的長(zhǎng)）.以上各規(guī)律請(qǐng)同學(xué)們自己證明.（利用中位線證明）.例：已知，如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD = BC，對(duì)角線AC、BD相交于O，∠AOB = 60o ，且E、F、M分別為OD、OA、BC的中點(diǎn)求證：△MEF是等邊三角形證明：連結(jié)BF、CE∵四邊形ABCD為等腰梯形∴AD = BC，AC = BD又∵AB為公共邊∴△ABD≌△BAC∴∠CAB =∠DBA∴OA = OB∵∠AOB = 60o ∴△ABO為等邊三角形又∵F為AO中點(diǎn)∴BF⊥AC∵M(jìn)為BC中點(diǎn)∴MF =BC同理可證：ME =BC∵E、F分別為OD、OA中點(diǎn)∴EF =AD∵AD = CB∴ME = MF = EF∴△MEF為等邊三角形，則矩形較短邊是對(duì)角線長(zhǎng)的一半.例：已知，四邊形ABCD為矩形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∠AOB = 120O.求證：AB =BD（證明略）.例：已知,如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E為CD中點(diǎn)，EF⊥AB于F求證：S梯形ABCD = EFBD =(AO＋CO)BD∴S梯形ABCD = S△ABD ＋S△BCD =AOAB規(guī)律61. 有梯形一腰中點(diǎn)時(shí)，也常把一底的端點(diǎn)與中點(diǎn)連結(jié)并延長(zhǎng)與另一底的延長(zhǎng)線相交，把梯形轉(zhuǎn)換成三角形.例：已知,如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD于A，DE = EC = BC求證：∠AEC = 3∠DAE證明：連結(jié)BE并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于N∵AD∥BC∴∠3 =∠N又∵∠1 =∠2 ED = EC∴△DEN≌△CEB∴BE = EN DN = BC∵AB⊥AD∴AE = EN = BE∴∠N =∠DAE∴∠AEB =∠N＋∠DAE = 2∠DAE∵DE = BC BC = DN∴DE = DN∴∠N =∠1∵∠1 =∠2 ∠N =∠DAE∴∠2 =∠DAE∴∠AEB＋∠2 = 2∠DAE＋∠DAE即∠AEC = 3∠DAE，常過(guò)中點(diǎn)做兩腰的平行線.例：已知,如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，且EF⊥BC求證：∠B =∠C證明：過(guò)E作EM∥AB, EN∥CD,交BC于M、N，則得□ABME，□NCDE∴AE = BM，AB∥= EM，DE = CN，CD = NE∵AE = DE∴BM = CN又∵BF = CF∴FM = FN又∵EF⊥BC∴EM = EN∴∠1 =∠2∵AB∥EM， CD∥EN∴∠1 =∠B ∠2 =∠C∴∠B = ∠C規(guī)律63. 任意四邊形的對(duì)角線互相垂直時(shí)，它們的面積都等于對(duì)角線乘積的一半.例：已知,如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC與BD交于O，且AC⊥BD，AC = 4，BD = ,求梯形ABCD的面積.解：∵AC⊥BD∴S△ABD =AOAB證明：過(guò)E作MN∥AB，交AD的延長(zhǎng)線于M，交BC于N，則四邊形ABNM為平行四邊形∵EF⊥AB∴S□ABNM = AB練習(xí)：已知，Q為正方形ABCD的CD邊的中點(diǎn)，P為CQ上一點(diǎn)，且AP = PC＋BC求證：∠BAP = 2∠QAD 旋轉(zhuǎn)變換就是當(dāng)圖形具有鄰邊相等這一特征時(shí)，可以把圖形的某部分繞相等鄰邊的公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置的引輔助線方法. 旋轉(zhuǎn)變換主要用途是把分散元素通過(guò)旋轉(zhuǎn)集中起來(lái)，從而為證題創(chuàng)造必要的條件. 旋轉(zhuǎn)變換經(jīng)常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形中.例：已知，如圖，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90o，D為BC邊上任一點(diǎn)求證：2AD2 = BD2＋CD2證明：把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o得△ACE∴BD = CE ∠B = ∠ACE∵∠BAC = 90o∴∠DAE = 90o∴DE2 = AD2＋AE2 = 2AD2∵∠B＋∠ACB = 90o∴∠DCE = 90o∴CD2＋CE2 = DE2∴2AD2 = BD2＋CD2 注意：把△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o 也可，方法同上。⑴作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線例：已知，如圖，AB = AC，BD⊥AC于D，求證：∠BAC = 2∠DBC證明：（方法一）作∠BAC的平分線AE，交BC于E，則∠1 = ∠2 = ∠BAC又∵AB = AC∴AE⊥BC∴∠2＋∠ACB = 90o∵BD⊥AC∴∠DBC＋∠ACB = 90o∴∠2 = ∠DBC∴∠BAC = 2∠DBC（方法二）過(guò)A作AE⊥BC于E（過(guò)程略）（方法三）取BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE（過(guò)程略）⑵有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊中線例：已知，如圖，△ABC中，AB = AC，D為BC中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求證：DE = DF證明：連結(jié)AD.∵D為BC中點(diǎn)，∴BD = CD又∵AB =AC∴AD平分∠BAC∵DE⊥AB，DF⊥AC∴DE = DF⑶將腰延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造