【正文】 解：如圖，連結(jié)OB、OC的圓O的半徑，已知∠OAB=500∵B是弧AC的中點(diǎn)∴弧AB=弧BC∴AB==BC又∵OA=OB=OC∴△AOB≌△BOC（） 圖2∴∠OBC=∠ABO=500∵∠ABO+∠OBC+∠CBD=1800∴∠CBD=1800 500 500∴∠CBD=800答:∠CBD的度數(shù)是800.例題2:如圖3,在圓O中,弦AB、CD相交于點(diǎn)P，求證：∠APD的度數(shù)=（弧AD+弧BC）的度數(shù)。（10）對(duì)于圓的內(nèi)接正多邊形的問(wèn)題，往往添作邊心距，抓住一個(gè)直角三角形去解決。（8）若題目中有“兩圓相交”的條件，經(jīng)常作兩圓的公共弦，使之得到同弧上的圓周角或構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形解決，有時(shí)還引兩連心線以得到結(jié)果。②如圖1（下）延長(zhǎng)AO交圓于E，連結(jié)BE，BA，得Rt△ABE。（4）連結(jié)同弧或等弧的圓周角、圓心角，以得到等角。（2）若題目中有“弦的中點(diǎn)”和“弧的中點(diǎn)”條件時(shí)，一般連接中點(diǎn)和圓心，利用垂徑定理的推論得出結(jié)果。AD＝2，BC＝8，則此等腰梯形的周長(zhǎng)為（ ）A. 19 B. 20 C. 21 D. 223. 如圖所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，則梯形ABCD的面積為（ ）A. 130 B. 140 C. 150 D. 160*4. 如圖所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，對(duì)角線AC與BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的長(zhǎng). 5. 如圖所示，已知等腰梯形的銳角等于60176。解：分別延長(zhǎng)AE與BC ，并交于F點(diǎn)∵∠BAD=900且AD∥BC∴∠FBA=1800－∠BAD=900 又∵AD∥BC∴∠DAE=∠F(兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等) ∠AED=∠FEC （對(duì)頂角相等）DE=EC （E點(diǎn)是CD的中點(diǎn)）∴△ADE≌△FCE （AAS） ∴ AE=FE在△ABF中∠FBA=900 且AE=FE∴ BE=FE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）∴ 在△FEB中 ∠EBF=∠FEB∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBEABDCEF例1已知：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中點(diǎn)，試問(wèn)：線段AE和BE之間有怎樣的大小關(guān)系？解：AE=BE，理由如下：延長(zhǎng)AE，與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．∵DE=CE，∠AED=∠CEF，∠DAE=∠F∴△ADE≌△FCE∴AE=EF∵AB⊥BC， ∴BE=AE．例1已知：梯形ABCD中，AD//BC，E為DC中點(diǎn)，EF⊥AB于F點(diǎn)，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面積．解：如圖，過(guò)E點(diǎn)作MN∥AB，分別交AD的延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，交BC于N點(diǎn)．ABCDEFMN∵DE=EC，AD∥BC∴△DEM≌△CNE四邊形ABNM是平行四邊形∵EF⊥AB，∴S梯形ABCD=S□ABNM=ABEF=15cm2．【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）1. 若等腰梯形的銳角是60176。證：連接DF，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，易證△AFD≌△CFG則AD=CG，DF=GF由于DE=BE，所以EF是△BDG的中位線從而EF//BG，且因?yàn)锳D//BG，所以EF//AD，EF在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)這點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形達(dá)到解題的目的。已知梯形兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，連接梯形一頂點(diǎn)與一條對(duì)角線中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與底邊相交，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。證：取AD的中點(diǎn)E，連接OE，則易知OE是梯形ABCD的中位線，從而OE=（AB＋CD）①在△AOD中，∠AOD=90176。例13如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中點(diǎn)，∠AOD=90176。即BFCE。在Rt△ABE和Rt△DCF中，因?yàn)锳BCD，AE=DF。BE=1cm∴AB=2BE=2cm，∴例12如圖，在梯形ABCD中，AD為上底，ABCD，求證：BDAC。作兩條高例1在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60176。從而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。證：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，則易知四邊形DGBC是矩形，所以DC=BG。（四）、作梯形的高作一條高例10如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90176。又∠BAD=∠DEB=90176。解：連結(jié)BD，由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB. 又AD不平行于BC，∴四邊形ABCD是等腰梯形. （三）、作對(duì)角線即通過(guò)作對(duì)角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。所以∠E=50176。在△BCE中，∠B=50176。AD=2，BC=5，求CD的長(zhǎng)。例7如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50176。所以由勾股定理得（cm）（cm）所以，即梯形ABCD的面積是150cm2。例6如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面積。解：過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，易得四邊形BCED是平行四邊形，則DE=BC，CE=BD=，所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。則△EGH是直角三角形因?yàn)镋、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，容易證得F是GH的中點(diǎn)所以平移對(duì)角線：例已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面積．解：如圖，作DE∥AC，交BC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．ABDCEH∵AD∥BC ∴四邊形ACED是平行四邊形∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4∵在△DBE中， BD=3，DE=4，BE=5∴∠BDE=90176。AD=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長(zhǎng)。解：過(guò)點(diǎn)B作BM//AD交CD于點(diǎn)M，在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范圍是：5－4BC5＋4，即1BC9。（一）、平移平移一腰：例1. 如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90176。作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形。轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。常見(jiàn)的幾種輔助線的作法如下：作法圖形平移腰，轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。通常情況下，通過(guò)做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問(wèn)題的基本思路。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。(2)當(dāng)∠APB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)∠APB的大小.（09崇文一模）在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)Q與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系．圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時(shí) ； （II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=，則Q= （用、L表示）．六 梯形的輔助線 口訣：梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)椤骱汀?。，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則的周長(zhǎng)為 ；中考應(yīng)用（07佳木斯）已知四邊形中，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明．（圖1）（圖2）（圖3）（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)∠APB=45176。（1） 當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③（2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60176。ABAC＞PBPC中考應(yīng)用（08海淀一模）（三）、平移變換△ABC的角平分線，直線MN⊥，△ABC周長(zhǎng)記為，△＞.2：如圖，在△ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E，且BD=CE，求證：AB+ACAD+AE.（四）、借助角平分線造全等1：如圖，已知在△ABC中，∠B=60176。AB＝AC+BD3：如圖，已知在內(nèi)，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。三角形中常見(jiàn)輔助線的作法：①延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形；②利用翻折，構(gòu)造全等三角形；③引平行線構(gòu)造全等三角形；④作連線構(gòu)造等腰三角形。DMCDEDADBD4，已知△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖52，求證EF=2AD。BECDA 3 如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點(diǎn)，∠BAC=∠DAE=90176。練習(xí)：1 如圖，AB=6，AC=8，D為BC 的中點(diǎn)，求AD的取值范圍。例二：如圖51：AD為△ABC的中線，求證：AB+AC2AD。在△EDF和△MDF中ED=MD（輔助線作法）∠EDF=∠FDM（已證）DF=DF（公共邊）∴△EDF≌△MDF（SAS）∴EF=MF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△CMF中，CF+CMMF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE+CFEF上題也可加倍FD，證法同上。即：∠EDF=90176。在△BDE和△CDM中，BD=CD（中點(diǎn)定義）∠1=∠5（對(duì)頂角相等）ED=MD（輔助線作法）∴△BDE≌△CDM（SAS）又∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）∠1+∠2+∠3+∠4=180176。例一：如圖41：AD為△ABC的中線，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BE+CFEF。（六）中線延長(zhǎng)口訣：三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線?！唳BD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。故∠1=∠3。∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。求證：BD=2CE。（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6．如圖7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90176。證明：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、CE，則DE、CE分別為RtΔABD，RtΔABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。仿例3可證：ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。求證：ΔABC是等腰三角形。∴BD===，故BC=2BD=2。在ΔACD和ΔEBD中，∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，從而B(niǎo)E=AC=3。（三）、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線例3．圖4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長(zhǎng)。求證：∠BGE=∠CHE。∴ΔCDF的面積為。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。（一）、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖1，AD是ΔABC的中線，則SΔABD=SΔACD=SΔABC（因?yàn)棣BD與ΔACD是等底同高的）。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。AB=AC，AE是過(guò)A的一條直線，且B，C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。1．如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。AD是∠CAB的平分線，DM⊥AB于M，且AM=MB。DCBA求證：BC=AB+DC。例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108176。求證：AE=AD+BE。證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取AN=AC連接PN,在△APN和△APC中AN=AC（輔助線作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△BPN中，有PBPNBN（三角形兩邊之差小于第三邊）∴BPPCABAC證明：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)AC至M，使AM=AB，連接PM，在△ABP和△AMP中AB=AM（輔助線作法）∠1=∠2（已知）A