初等幾何分析講義(提綱)(函授用)(參考版)
2025-07-02 09:47本頁(yè)面
【正文】 二．立體幾何軌跡（P219）。13. 作二已知線段 a, b 的第三比例項(xiàng) (a: b = b: x)14. 作二已知線段的等比中項(xiàng) ( 比例中項(xiàng) ) (a:x = x:b)15. 已知線段求作線段16. 已知線段求作線段五．解作圖題步驟 : 已知 , 求作 , 分析 , 作法 , 證明 , 討論 缺一不可 . 第二節(jié) 作圖題解法一 .軌跡交截法 ( 交軌法 )一些作圖題的解決 , 往往歸結(jié)到某一點(diǎn)的確定 .而一點(diǎn)的確定 , 須要兩條件 C1 和C2, 分別作出合乎條件 C1 的軌跡 Fl 與合乎條件 C2 的軌跡F2, 則 Fl 和F2的交點(diǎn)同時(shí)滿足條件 C1 和C2，為所求點(diǎn) , 這種方法稱為軌跡交截法 .例 1. 已知三角形的底邊, 高, 中線的長(zhǎng) , 求作 :△ABC例 2. 己知△ABC 的底邊, 頂角 A 以余兩邊的平方和, 求作這三角形 .二 .三角形奠基法 :在一些作圖題中 , 可先作出圖形的一個(gè)三角形 , 從而奠定全部圖形的基礎(chǔ) , 圖形 的其它部分可由此而作出 , 這個(gè)三角形稱為基礎(chǔ)三角形 , 這種方法稱為三角形奠基 法 .例 1. 已知三角形的底邊, 高, 中線的長(zhǎng) , 求作 :△ABC例 2. 已知△ABC 的三中線的長(zhǎng)度 , 求作這三角形 .第六章 立體幾何第一節(jié) 直線與平面一． 用綜合法解立體幾何題例1 P185 例1 例2 P192 例1二． 用向量法解立體幾何題例1 P185 例1第二節(jié) 多面角與多面體一． 多面角定義與相關(guān)定理（P195）二． 多面體1． 多面體定義（P198）2． 歐拉定理：設(shè)凸多面體的頂數(shù)為V，面數(shù)為F，棱數(shù)為E，則V+FE=23． 正多面體（1） 正多面角，正多面體定義（2） 定理：正多面體最多有五種第三節(jié) 空間幾何變換與立體幾何軌跡一． 空間幾何變換1． 空間圖形的相等（P210）2． 空間幾何變換（1） 第一類合同變換（運(yùn)動(dòng)）：平移、旋轉(zhuǎn)、軸反射、螺旋運(yùn)動(dòng)。 。9. 作線段的和或差 , 作角的和或差 。6. 平分一弧 :7. 作定線段的中垂線 。4. 過(guò)一點(diǎn)作已知直線的平行線 。 (3) 二角及其夾邊。四 .基本作圖 :1. 以定射線為一邊作一角等于給定的角；2. 求作三角形 , 已知 : (1) 三邊 。定位作圖能作出幾個(gè)合乎條件的圖形 , 便說(shuō)有多少個(gè)解。例如 已知三邊長(zhǎng) , 求作三角形 “ 求作定圓的內(nèi)接正方形 。三 .定位作圖與不定位作圖 如果求作的圖形必須作在指定的位置 , 便叫做定位作圖。(2) 已知圓心和半徑可作一圈 。二．尺規(guī)作圖 :1. 尺規(guī)作圖 : 僅用直尺 ( 無(wú)刻度 ) 和圓規(guī)經(jīng)有限手續(xù)的作圖稱為尺規(guī)作圖或初等幾何作圖。 (2) 可把所學(xué)知識(shí)用來(lái)解決具體問(wèn)題 , 學(xué)以致用 。例 1. 從已知半圓直徑 AB 延長(zhǎng)線上任一點(diǎn) C 作切線 CT 及∠ACT 的平分線 , 從圓心作這角平分線的垂線 , 求垂足 M 的軌跡 .例 2. 設(shè) BC 是定半圓的直徑 , 從半圓上的動(dòng)點(diǎn) A 作 AD⊥BC, 在半徑OA 上截OP=AD. 當(dāng)點(diǎn) A 描畫半圓時(shí) , 點(diǎn) P 的軌跡為何 ?例 3. 等邊△ABC 的點(diǎn) A 固定 , 點(diǎn) B 為定直線 m 上的動(dòng)點(diǎn) , 求點(diǎn) C 的軌跡 . 第五章作圖題 第一節(jié)作圖基本知識(shí)一 .幾何作圖及其意義 :1. 作圖問(wèn)題 : 結(jié)合條件、要求作出合乎這些條件的圖形。 3. 確定軌跡上的特殊點(diǎn)。 探求方法 :1. 描跡 ( 描點(diǎn)法 ) 按照所設(shè)條件作出軌跡上若干點(diǎn) , 可發(fā)現(xiàn)大概形狀 .2. 預(yù)測(cè)軌跡性質(zhì) (1) 對(duì)稱性 (2) 范圍 : 若軌跡上的點(diǎn)可到達(dá)無(wú)窮遠(yuǎn) , 無(wú)端點(diǎn)為直線 , 有端點(diǎn)為射線 。以上三個(gè)軌跡為常用軌跡。例 1. 和兩定點(diǎn)距離之比等于定比 ( 不等于 1) 的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓, 稱為阿氏 ( Apollonius ) 圓。 ) 的點(diǎn)的軌跡 , 是對(duì)稱于定線段 ( 所在直線 ) 的兩個(gè)圓弧 , 以定線段為弦而其內(nèi)接角等于α . 特別 , 當(dāng)α =90176。 4. 至定直線的距離為定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡 , 是平行于定直線的兩條直線 , 各在 定直線的一側(cè)且距離定線等于所設(shè)定長(zhǎng) 。 2. 距兩相交直線等遠(yuǎn)的點(diǎn)的軌跡 , 是兩互垂的直線 , 它們平分兩定線所成 的角 。三 .基本軌跡命題 : 基本軌跡在中學(xué)介紹過(guò) , 在此不加證明 , 要求熟練掌握。解題步驟與第二類型類似 , 探求麻煩一些 , 先探求出形狀。(2) 證明 ( 證完備性 , 證純粹性 , 下結(jié)論 。（1）證完備性 , 即證明合乎條件的點(diǎn)都在指示的圖形上 .(2) 證純粹性 , 即證所示圖形上的點(diǎn)都合乎條件 .(3) 下結(jié)論 , 即判斷命題成立 .例 : 求證 : 距兩定點(diǎn)等遠(yuǎn)的點(diǎn)的軌跡 , 是該兩點(diǎn)連線段的中垂線 .第二類型軌跡命題 : 明白說(shuō)出軌跡的形狀 , 至于位置和大小 , 或敘述不全 , 或干脆不說(shuō)。 (239。 也可分別改證它們的等效命題 : (139。 (1) 任取合乎條件 C 的一點(diǎn) , 證明它在圖 F 上 。例：在△ABC中，已知AD是的平分線，求證：第四章 軌跡第一節(jié) 軌跡的基本知識(shí)一．軌跡的意義 : 給定了條件 C( 或性質(zhì) C), 則滿足條件 C 的一切點(diǎn)所構(gòu)成的圖形 F 稱為由條件 C 所規(guī)定的軌跡。 被所垂直平分那么這個(gè)變換就稱為平面上的軸反射變換 ( 或軸對(duì)稱
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