競賽輔導講義(幾何)(參考版)
2025-06-30 06:07本頁面
【正文】 只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。歲月是有情的，假如你奉獻給她的是一些色彩，它奉獻給你的也是一些色彩。努力過后，才知道許多事情，堅持堅持，就過來了。有時候覺得自己像個神經病。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時間，總會看清一些事。ABCDE設ΔABC的面積為1，D是邊AB上一點，且，若在邊AC上取一點E，使四邊形DECB的面積為，求的值．答案提示∵AB∥DC，∴， 由條件得， ， 作PQ⊥EF于Q, 設BQ = x , QD = y, PQ = h,由AB∥PQ∥CD, 得，兩式加, 得, 則h = , .過B作BE∥DA交CA延長線于E，則∠EBA＝∠BAD＝，得BE=由， 故 ． 連結，設，則，2相似三角形例題講解例1 已知D是ΔABC的BC邊上一點，且∠ACD＝∠B，求證：ABCD證明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴ΔACD∽ΔABC， ∴，∴.例2 在ΔABC中，∠ABC＝，點P是ΔABC內的一點，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，求PB的長.ABC解: ∠APB＝∠BPC＝∠CPA，∠PAB＝－∠PBA＝∠PBC，∴ΔPAB∽ΔPBC從而 即思考練習ABCDEF在ΔABC中，D是邊AC上一點, 下列四種情況中, 不能使ΔABD ∽ ΔACB成立的情況是（ ）(A) (B) (C) (D)APBCD已知直角ΔABC（AC＞BC）的斜邊AB的中點為D過D作AB的垂線交AC于E，交BC的延長線于F，連結DC， 求證：如圖, 若PA = PB, ∠APB =2∠ACB, AC與PB交于點D,且PB = 4, PD =3, 求.ABCDMNTOΔABC的三邊長為, 且, 求證：∠B＝2∠A .在正方形ABCD中, , N是DC的中點, M是AD上異于D的點, 且∠NMB＝∠MBC, 求tan∠ABM MNADC將邊長為1的正方形ABCD繞A點按逆時針方向旋轉至的位置，求這兩個正方形重疊部分的面積．答案提示因為由(B)(C)都能得出ΔABD∽ΔACB, 因此可將(B)(C)(A), 分別作BE⊥AC于E, DF⊥AB于F, 則DF = ADsinA, BE = ABsinA, 由得，∴RtΔBDF ∽ RtΔCBE, ∴∠ABD＝∠ACB, ∴ΔABD ∽ ΔACB ，故排除(A), 選(D). 延長BP到Q, 使PQ = PB = 4, 連AQ, ∵PQ= PB = PA, ∴∠APB =2∠AQD, ∠APB =2∠ACB，∴∠AQD =∠ACB，又∠ADQ = ∠BDC，ΔADQ∽ΔBDC, 從而得 ，故 .由得延長CB到D, 使BD = AB = c, 則CD = 在ΔABC和ΔDAC中, ， 又∠C公用, ∴ΔABC∽ΔDAC, 從而∠BAC = ∠D = ∠BAD, ∴∠ABC = ∠D + ∠BAD = 2∠D = 2∠BAC. 延長MN交BC的延長線于T, 設MB的中點為O, 連結TO, 則ΔBAM∽ΔTOB. 所以, 即 , 在直角三角形BAM中, 又, 所以，解得 , 從而 , 所以 .過作MN∥AD，分別交CD、AB于M、N，設交CD于K，則，所以 ，又Rt≌Rt，所以＝，則∽，.2圓例題講練例1 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，點P在線段AD上, 求滿足條件∠BPC＝的點P的個數.BCDAOH解: 因為AB +CD = 1999 = AD, 所以梯形的中位線等于腰BC的一半, 故以BC為直徑的圓與AD的一個交點恰為AD的中點, 即AD的中點對BC張成的角為直角. 又在AD上取點Q, 使AQ = AB, DQ = DC, 由ΔABQ和ΔDCQ都是等腰三角形, 知Q對BC成角. 注意到以BC為直徑的圓與AD至多有兩個交點, 可知所求的點數為2 . 例2 已知四邊形ABCD內接于直徑為3的圓O, 對角線AC是直徑, AC與BD相交于點P, AB = BD, 且PC = , 求四邊形ABCD的周長. 解: 連結BO并延長交AD于H, 因為AB = BD, O是圓心, 所以BH⊥AD, 又因為∠ADC＝, 所以BH∥CD, 從而 ΔOPB∽ΔCPD， 故 CD = 1于是 ， 又 所以 ，四邊形ABCD的周長為.ABCDEFG例3 設ΔABC是直角三角形, 點D在斜邊BC上, BD = 4DC, 已知圓過點C且與AC相交于F, 與AB相切于AB的中點G，求證: AD⊥BF. 證明: 過D作DE⊥AC于E, 則，∵， 即 ∴，故ΔBAF∽ΔAED ∠ABF＝∠DAE, 而∠EAD +∠DAB = ，∴∠ABF +∠DAB = , 故 AD⊥BF.APBCSTH例4 如圖, 已知P是⊙O外一點, PS、PT是⊙O的兩條切線, 過點P作⊙O的割線PAB,交⊙O于A、B兩點, 與ST交于點C, 求證：證明：過P作PH⊥ST，則H是ST的中點，又∴, ∴O1ACDBO2例5 圓與圓外切于點A,兩圓的一條外公切線與圓相切于點B, 若AB與兩圓的另一條外公切線平行, 求圓與圓的半徑之比. 解: 由AB∥CD, 且C⊥CD, ∴C⊥AB.于是, 由對稱性知，從而 ，∴，∴，∴: = 1: 3思考練習點A是半徑為1的圓O外的一點，OA=2，AB是圓的切線，B是切點，弦BC∥OA，連結AC，求ΔABC的面積.已知ABCD是一個半徑為R的圓內接四邊形, AB＝12, CD＝6, 分別延長AB和DC, 它們交于P, 且BP＝8, ∠APD＝, 求R.如果2
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