20xx年數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)班講義(參考版)
2025-07-27 05:09本頁面
【正文】 )11l n ([lim)1 2 xxxx????解 : ? ?tttt1)1l n (1lim20 ??? ? 20)1l n (l i mtttt????.c o ss e c )1l n ()1l n (lim)3220 xxxxxxx ???????。 (D) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 . 解 : 0)(4)( 00 ????? xfxfA 題型五： 洛必達(dá)法則 使用洛必達(dá)法則的經(jīng)驗 : （ 1）先化簡（往往是利用等價無窮小代換） , 再用洛必達(dá)法則； （ 2） 一階可導(dǎo)，則不能對 使用洛必 達(dá)法則（因為 不一定存在）； 若二階可導(dǎo)，則只能使用一次洛必達(dá)法則。 (B) 取得極小值 。 則函數(shù) f (x) 的圖 (2) 設(shè)函數(shù) 的圖形如圖所示 , ),(),0,( 21 ??xx)(xf ??o 2x1xyx2x1x例 28. 證 : 只要證 ,1)1()( 2 xexxf x ????設(shè) 0)0( ?f則,1)21()( 2 ???? xexxf 0)0( ??f)10(04)( 2 ??????? xexxf x利用一階泰勒公式 , 得 2!2)()0()0()( xfxffxf ???????)10(02 22 ?????? xxe ?? ?故原不等式成立 . ]ln)1l n ([)()(1 xxxfxf ????例 29. 證明 證 : ( ) e l n (e , )f x x x x? ? ? ? ?()fx? 單調(diào)增加 , ]11 1[ xxx ???(e) 0 ( ) 0f f x? ? ?即 且 令 例 30. 設(shè) 在 上可導(dǎo) , 且 證明 f ( x ) 至多只有一個零點 . 證 : 設(shè) )()( xfex x??則 ])()([)( xfxfex x ????? 0?故 在 上連續(xù)單調(diào)遞增 , 從而至多只有 一個零點 . 又因 ,0?xe 因此 )(xf 也 至多只有一個零點 . 思考 : 若題中 改為 ,0)()( ??? xfxf其它不變時 , 如何設(shè)輔助函數(shù) ? )()( xfex x???例 31. 求數(shù)列 的最大項 . 證 : 設(shè) ),1()( 1 ?? xxxf x用對數(shù)求導(dǎo)法得 )ln1()( 21 xxxf x ??? ?令 得 ),1[ e ),( ??e0ee1? ?因為 在 ),1[ ?? 只有唯一的極大點 ,ex ? 因此在 處 也取最大值 . 又因 中的最大項 . 極大值 列表判別 : 上的在 ]1,0[)( xf試求 ，設(shè) Nnxxnxf n ??? ,)1()().(lim nMn ??解 : ?? )( xf?,0)( ?? xf令])1(1[)1( 1 xnxn n ???? ?例 32. nxn )1( ? 1)1( ???? nxnxn,)( 由增變減通過此點時易判別 xfx及最大值 )( nM故所求最大值為 1()1nnn???)11()( ?? nfnM?? ?? )(lim nMn1e??1)111(l i m ??? ?? nn n1 1nx ??例 33.(1) 曲線 )(1122xxeey?????(A) 沒有漸近線； (B) 僅有水平漸近線； (C) 僅有鉛直漸近線； (D) 既有水平漸近線又有鉛直漸近線 . 提示 : 。 o 2x1xyxo x)(xf1x 2xo)(xfx . 在區(qū)間 上是凸弧 。 極小值點為 。 證明不等式 。 利用萊布尼茲公式 。 聯(lián)系 : 0() xxfx ?? ? 0()fx?注意 : ])([)(00 ??? xfxf例 2. 解 : 例 3. 若 0)1( ?f 且 )1(f? 存在 , 求 .t a n)1()c o s(si nlim 20 xexxfxx ???解 : 原式 = 220)c o s(si nl i mxxxfx??且 聯(lián)想到湊導(dǎo)數(shù)的定義式 202s in( 1 )li cm o s 1xf xxx??????2s i n c o s 1xx??2s i n c o s 1xx??(1)f?)1(f ?? )211( ?? 1(1)2 f ??在 處連續(xù) , 且 存在， 證明 : 在 處可導(dǎo) . 證 ：因為 存在， 則有 又 在 處連續(xù) , 所以 即 在 處可導(dǎo) . 例 0( ) ( 0 )l imxf x fx??故 已知 則 0k例 時 , 恒有 問 是否在 可導(dǎo) ? 解 : 由題設(shè) 由夾逼準(zhǔn)則 故 在 可導(dǎo) , 且 例 其中 )(x? 在 ax?因 )()()()( xaxxxf ?? ?????故 )()( aaf ????axafxfafax ?????)()(lim)(axxaxax ????)()(li
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