初等幾何分析講義(提綱)(函授用)-閱讀頁(yè)
2025-07-14 09:47本頁(yè)面
【正文】 個(gè)三角形合同旦轉(zhuǎn)向相反。又 : 第一類合同變換構(gòu)成群 ( 運(yùn)動(dòng)群 ), 是合同變換群的子群。記作，稱為平移距離，的方稱平移方向2. 平移由一向量或一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)唯一確定 , 零向量確定的平移是恒等變換。 (3) 除恒等變換外 , 平移沒(méi)有二重點(diǎn)，但有無(wú)窮多條二重線。例 1. 己知 :P 為平行四邊形 ABCD 內(nèi)的一點(diǎn)∠PAB=∠PCB，求證：∠PBA=∠PDA A D P B C例2．P75例2三．旋轉(zhuǎn)變換 : 1. 定義 : 一個(gè)平面到自身的變換 , 如果存在一個(gè)定點(diǎn) O 和定角 ( 有向角 ), 使平面上任一點(diǎn)及對(duì)應(yīng)點(diǎn) , 滿足, 那么這個(gè)變換稱為平面上的旋轉(zhuǎn)變換 , 簡(jiǎn)稱旋轉(zhuǎn) , 記為為旋轉(zhuǎn)中心 ,為旋轉(zhuǎn)角 . 當(dāng) , 時(shí)為恒等變換 , 當(dāng)時(shí)稱為中心對(duì)稱變換或中心反射 .2. 旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角唯一確定 , 或由旋轉(zhuǎn)中心和一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)唯一確定。的旋轉(zhuǎn)變換稱為中心對(duì)稱變換 ( 中心反射、點(diǎn)反射 ), 旋轉(zhuǎn)中心 O 稱為對(duì)稱中心。 ) 中心對(duì)稱變換除具有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)外 , 還具有一些特殊的性質(zhì)(1) 中心對(duì)稱變換是對(duì)合變換,；(2) 中心對(duì)稱變換有無(wú)窮多條二重線 , 即所有過(guò)對(duì)稱中心的直線；(3) 對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線過(guò)對(duì)稱中心且被它平分 , 對(duì)應(yīng)線段相等且反向平行或共線；(4) 不過(guò)對(duì)稱中心的直線與其對(duì)應(yīng)直線平行 , 反之 , 若兩直線平行 , 則它們是某個(gè)中心對(duì)稱變換下的兩條對(duì)稱直線。 例 1. 在△ABC 中 M 為BC 的中點(diǎn),P 、 R 分別在 AB 、AC 上 ,Q 為 AM與PR 的交點(diǎn)。 連線段 MM39。 (3) 反射有無(wú)窮多個(gè)二重點(diǎn) , 它們是反射軸上的點(diǎn) , 反射有無(wú)窮多條二重線 , 即 反射軸及與反射軸垂直的直線 . （4）設(shè)P為反射軸上任一點(diǎn)，是一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則被所平分。 必須特別注意軌跡命題的兩面證明。 (2) 在圖形 F 上任取一點(diǎn) , 證明它合乎條件 C 。 ) 不在圖 F 上的任一點(diǎn) , 必不合乎條件 C。 ) 不合乎條件 C 的任一點(diǎn) , 必不在圖形 F 上 .二 .軌跡命題的三種類型 :第一類型軌跡命題 : 明白說(shuō)出軌跡的形狀和位置 , 如有大小可言 , 也一并指出 .證明第一類型軌跡分為三步。解題步驟（1) 探求 , 即預(yù)測(cè)軌跡的大小和位置 。(3) 討論 ,即研究給定的條件對(duì)軌跡的影響 . 例 : 求證 : 距兩定點(diǎn)等遠(yuǎn)的點(diǎn)的軌跡是一條直線 . 第三類型軌跡命題 : 只給出條件，形狀、大小、位置則不提。 例 : 求距兩定點(diǎn)等遠(yuǎn)的點(diǎn)的軌跡。 1. 距兩定點(diǎn)等遠(yuǎn)的點(diǎn)的軌跡 , 是該兩點(diǎn)連線段的中垂線。 3. 距兩平行的定直線等遠(yuǎn)的點(diǎn)的軌跡 , 是平行它們的一條直線 , 即兩平行 線的公垂線段的中垂線 。 5. 至定點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡為一圃 , 以定點(diǎn)為其中心而以定長(zhǎng)為半 徑 : 6. 對(duì)定線段的視角為定角α (0 α 180176。 時(shí) , 軌跡為以定線段為直徑的圓 . 第二節(jié) 軌跡題的解法一 .第一類型軌跡題 :例 1. 連接一定直線上的點(diǎn)與直線外一定點(diǎn)的線段 , 其中點(diǎn)的軌跡是定點(diǎn)至定 直線所引垂線的中垂線 .例 2. 給定直角∠XOY， 一條定長(zhǎng) ( 記為 a) 的線段 AB 兩端在角的兩邊滑動(dòng) , 則 AB 中點(diǎn) P 的軌跡是以 O 做中心 , 以 a/2 做半徑的弧 QR例 3. 平行四邊形ABCD 的底邊 BC 固定 , 且一邊 AB 為定長(zhǎng)α , 則其對(duì)角線交點(diǎn)的軌跡為一圓 , 圓心是 BC 的中點(diǎn) , 半徑是a/2第二類型軌跡題 : 第二類型軌跡題中軌跡的形狀知道 , 但位置、大小或敘述不全 , 或完全不講 , 需探求出來(lái)。例 2. 到兩定點(diǎn)距離的平方和為常量的點(diǎn)的軌跡 ( 倘若存在〉為一圓 ( 可能退 縮為一點(diǎn) ), ( 稱為定和冪圓)例 3. 到兩定點(diǎn)距離的平方差為常量的點(diǎn)的軌跡 , 是垂直于這兩點(diǎn)連線的一條 直線 , ( 稱為定差冪線)。第三類型軌跡題 : 第三類型軌跡題 , 軌跡的形狀、大小、位置都不知道 , 需先探求出來(lái)。 若軌跡上的點(diǎn)不能到達(dá)無(wú)窮遠(yuǎn) , 軌跡為圓 , 圓弧 , 線段 , 三點(diǎn)共線為線段 , 否則為圓或圓弧 , 此時(shí)需求出一點(diǎn)對(duì)兩端點(diǎn)的視角。 4. 考察任意點(diǎn)與特殊點(diǎn)的關(guān)系。2. 意義：（1）建立學(xué)生具體幾何觀念的重要手段 。 (3) 為制圖學(xué)提供理論基礎(chǔ) (4) 培養(yǎng)邏輯思維能力。2. 利用直尺和圓規(guī)可以完成下列作圖 ( 作圖公法)(1) 過(guò)兩點(diǎn)作一直線 。 (3) 求直線與直線 , 直線與圓 , 圓與圓的交點(diǎn)。例如 給定三角形求作它的外接圓 如果求作的圖形只要滿足一定的條件 , 至于畫(huà)在什么位置可以不計(jì) , 便叫做不 定位作圖 ( 活位作圖)。 按一定步驟作出一個(gè)合乎所設(shè)條件的圖形 , 便說(shuō)得到這個(gè)問(wèn)題的一個(gè)解。 活位作圖合乎條件但彼此合同的圖形只算一個(gè)解。 (2) 二邊及其夾角 。 3. 過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線 。5. 平分一角 。8. 分一線段成若干等分 。 , 求作弓形弧 。 。（2） 第二類合同變換：面反射、（中）
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