【正文】 如何評價兩個基金? 作為十年期間從不取錢出來的投資人來說，前面的增值。證畢。 定理 （分散投資極限定理）：有 N 個相互獨立的證券，未來收益皆有兩種可能，分別為 r1 和 r2，概率分別為 P 和 Q=1?P，算術(shù)平均收益皆為 E=Pr1+Qr2。可以說，投資組合的目的是使幾何平均收益盡可能地接近算術(shù)平均收益?？梢宰C明，在各證券收益互不相干且收益的概率預(yù)測相同的情況下，各證券投資比例相同時組合最優(yōu)；并且證券數(shù)目越多，幾何平均收益越大。設(shè)每種投資虧和贏的概率是 P 和 Q=1?P。到此，單硬幣投資模型的頭寸優(yōu)化問題已經(jīng)全部解決了。由此可以理解為什么期貨交易者能夠容忍較高的手續(xù)費，而國債交易者不能（期貨交易因手續(xù)費虧損主要是由于交易太頻繁）。意味手續(xù)費比率提高時，優(yōu)化的持倉增減量相應(yīng)減少。手續(xù)費比例 d 增大對投資增量的影響如圖 所示。R2?R0， 于是得到 )log()log( 21????qPPH（）它和前面的式（）非常相似。=1?d 元（增加頭寸用? ，減少頭寸用+），資金? q 在交易后變?yōu)??qd’元，于是有增值熵（）)](log[( )l 02q202 111 2q0q0RdRPH????????? ??令R01=q0R0+qR1，R 02=q0R0+qR2，? 1=d39。假設(shè)1?q??1。前面的優(yōu)化公式中沒有考慮交易手續(xù)費，從而也沒有考慮如何優(yōu)化轉(zhuǎn)移量。而最優(yōu)投資比例需用電腦搜索投資矢量空間才能得到。圖 單硬幣打賭下注比例優(yōu)化（可透支和賣空，P 1=P2=；r 0=，r 039。 ?2 同理。 ?1 = r1+r39。假設(shè)融券用同樣價值的資金抵押，這時剩余資金比例是 q0=max（0，1?| q|），貸款比例是 q039。期貨的投資比例優(yōu)化還涉及保證金比例問題。在期貨市場上，賣出自己未必擁有的未來的商品，叫拋空，也是賣空的一種。什么是賣空? 在股票和國債市場上，通常我們只能先買后賣。最優(yōu)投資比例是 （）????????????? ???? 0,1,*21021qRPqM其中M=可用資金相對自有資金的倍數(shù)=（1+ 可透支或貸款的倍數(shù)）如果存款利率和貸款利率相同，則有 R0=R039。? 239。=R1?R039。r0 是貸款利率）；q0=max（0，1?q），q 039。=（1+ r039。如果條件 II 不成立，則意味可以從銀行或證券公司透支或貸款去投資（比如買股票）。許多人在期貨、期權(quán)、外匯等交易中損失巨大，或者玩不了多久就賠光出場，原因就在于他們受到可能的高額利潤誘惑，持倉比例往往過大。比如說，只要虧光的概率不是 0，就一定不要滿倉；只要虧光的概率達 ，就一定不要超過半倉——哪怕有 10 倍20 倍利潤的可能。由（）可得出一個非常有意義的結(jié)論。注意r2/r1 不變的點， q*隨兩者增大而減小，這說明期望收益不變時，收益波動越大，優(yōu)化的投資比例應(yīng)越小。在不許透支也不許賣空的情況下（條件 I，II ，III 成立），最優(yōu)投資比例是，1 q’0 （）021Rq0Pq?????????????,*令 q39。下面我們用求極值方法求最優(yōu)比例。如果?1?20（只虧不贏），最優(yōu)比例顯然是 0（不許賣空時）。對于單硬幣打賭問題，增值熵是43 / 254 （）)log()log(1120201?????qRPqRPrrH其中 P1 和 P2 是贏虧的概率，R 1 和 R2 是相應(yīng)的兩種產(chǎn)出比；r 1 和 r2 是相應(yīng)的兩種收益（率）；R 0=1+r0，r 0 是存款利率或市場利率；q0=1?q； ?1=R1?R0=r1?r0，? 2=R2?R0=r2?r0，? 1 和? 2 是扣除銀行利率或市場利率的收益，簡稱超常收益（excess return）。定義 我們稱前面的投資模型是單硬幣打賭模型，如果1) 投資項目或證券種數(shù) N=1；2) 可能的贏虧種數(shù) n1=2（贏虧概率未必相等）；3) 要確定的投資比例有兩個：現(xiàn)金（或國債）和非現(xiàn)金比例，k=0，1。在一般情況下需要通過計算機編程得到數(shù)值解。在給定 q 的限制條件下求使增值熵 （）???iNkiiRqxPH0log)(達極大的 q，這是一個非線性規(guī)劃問題，可用已有方法解決。投資比例矢量是有限制條件的。 后面我們簡記矢量 Pi=P（x i）41 / 254=P（x i1，x i2， ……，x iN），記概率分布為 P=（P i）=（P 1，P 2，……，P W），記投資比例矢量 q=（q k）=（q 0，q 1，……，q N）， 其它類推。 幾何平均收益是 rg=Rg?1=2H?1。這一熵函數(shù)和 K. J. Arrow 曾使用的效用函數(shù)表面上有些相似 [17]，但實質(zhì)不同（參見 節(jié)）。對上式取對數(shù)并令 m?∞ ，得 （）???WiNkiiiiigRqxPH101lo)(lg)(l我們稱 H 為增值熵，它是廣義熵的一種，其量綱和信息量綱相同。 設(shè)做 m 次確定價格矢量的投資實驗， xi 或 ri 發(fā)生的次數(shù)是 mi ，則 m 次投資后資金增值為原來的倍數(shù)是 （）??WimiR1平均每次投資后資金增長為原來的倍數(shù)，即幾何平均產(chǎn)出比是 （）?Wimig1/筆者最近了解到 Henry. A. Latane 和 Donald. L. Tuttle 1967 年在一篇文章中提出了上式所示投資組合數(shù)學(xué)模型 [22]，并稱之為財富最大化模型。實際上，當(dāng)投資某一項目或股票的資金增大到一定程度，比如投資某一股票達數(shù)千萬元時，收益將呈非線性變化（效益遞減）。39 / 254產(chǎn)出比Rik=xik/x0k （）當(dāng)采用保證金交易時，它變?yōu)镽ik=1+K（x ik?x0k） /x0k （）其中 K?1 是杠桿倍數(shù)，意味交易者可以按交易額的 1/K 倍交納保證金，價格漲跌 r%時交易者盈虧 Kr %。其中 qk，k =1，2，...，N 是在第 k 種證券上的投資比例，q 0 是投資人所持現(xiàn)金比例；R 0k=R0=（1+r 0），r 0=存款利率或市場利率。 優(yōu)化投資組合的最大增值熵原理令 N 種證券價格構(gòu)成 N 維矢量，設(shè)第 k 種證券價格有 nk 種可能取值，k=1 ，2， ...，N，則共有W=n1n2...nN 種可能的價格矢量。4. 優(yōu)化投資組合的數(shù)學(xué)方法本章敘述新的投資組合數(shù)學(xué)理論。按 Markowitz 理論， I 和 II 投資價值相同，而按常識和本書理論，II 遠優(yōu)于 I。證券II（像是可轉(zhuǎn)換債券）的收益的期望和標(biāo)準(zhǔn)方差同樣是 和 ，但是收益的概率分布以 為中心（產(chǎn)出比以 為中心）對稱反轉(zhuǎn)了一下（見圖 ），兩者投資價值分析如表 所示（這里忽略銀行利息和交易手續(xù)費，R r是本書定義的風(fēng)險測度，參見 節(jié)）。下面我們舉例說明。雖然 Markowitz 理論的成就是巨大的，但是其缺陷也是不容忽視的。分散投資或選擇收益反相關(guān)的品種組合投資之所以能減小風(fēng)險是因為那樣能減小總的收益的標(biāo)準(zhǔn)方差。對于有 N 種證券的組合 P，期望收益變?yōu)? （）??kPEq1其中 Ek 是第 k 種證券的期望收益，q k 是相應(yīng)的投資比例；35 / 254標(biāo)準(zhǔn)偏差變?yōu)? （）???kllklkllPqcq???其中 ckl 是協(xié)方差系數(shù)， ?k 和 ?l 是兩種證券的標(biāo)準(zhǔn)方差， ?kl 是相關(guān)系數(shù)，即 （）))()(,lkl klkl Err??優(yōu)化投資組合實際上是在 qk 的某些限制下（比如?qi=1），改變投資比例 q1， q2，... ，q N，使（） ????klklkPcEEa??達最小。投資嗜好無差異曲線可以寫成? =?E+a （）a=??E +?越小則投資價值越高。Markowitz 用收益的期望 E 和標(biāo)準(zhǔn)方差?表示一種證券的投資價值，期望越大越好，而標(biāo)準(zhǔn)方差越小越好。但是 Markowitz 等人并不知道或沒有研究使資金增值最快的客觀的最優(yōu)比例，更不知道怎么求出。 從本章前面內(nèi)容，我們可以看出投資組合的意義：1）在收益不確定且可能虧損的情況下，改變投資比例可以提高資金的平均增值速度；2）如果有多個收益和風(fēng)險相同且彼此互不相關(guān)的品種，適當(dāng)分散投資比集中投資風(fēng)險小，且資金增值的平均速度快；3）同時投資反相關(guān)的品種可以減小總的投資風(fēng)險，提高資金平均增值速度。相關(guān)系數(shù)越小，組合效果越好。 e_2同理；r I 和 rII 是兩個品種的投資收益，比例 q 和 q* 是在每種證券上的投資比例和優(yōu)化的投資比例。全部投入資金（各 50%）和按優(yōu)化比例投入資金的幾何平均收益隨相關(guān)性變化如表 所示。我們用一對硬幣的兩面表示投資一個期貨品種或打賭的收益，同時是 A 面你虧 200%，同時是 B 面你賺300%，一 A 一 B 你賺 50%。假設(shè)共有兩個籃子，如果只有而且總有一個籃子被打翻（反相關(guān)），則你可以全部投入資金（各投 50%），這時每次收益穩(wěn)定不變，幾何平均收益等于算術(shù)平均收益（（?1）+2）100%=50%組合效果最好。 從擲硬幣打賭看收益相關(guān)性對 投資效果的影響在前面我們假設(shè)幾個籃子被打翻是相互獨立的，如果幾個籃子被打翻是相關(guān)的會怎么樣呢？顯然，如果兩個籃子總是一道被打翻，那么，將雞蛋放在兩個籃子里和放在一個籃子里是一樣的，并不能降低風(fēng)險并提高收益。(%)圖 投資比例和收益隨籃子數(shù)目變化可見，籃子越多，資金越分散，資金增值速度越快。210。202。190。198。186。(%)188。192。177。182。197。表 優(yōu)化比例和幾何平均收益隨籃子數(shù)目變化31 / 254籃子數(shù)目 1 2 3 4 N??最優(yōu)投資比例（%） 1?25 2?23 3? 4? N?100/N幾何平均收益（%） 500204060801001 2 3 4 N238。這時如何確定現(xiàn)金比例和各股票上的投資比例，使得重復(fù)投資后累積收益最大？ 上面問題和下面問題是等價的假設(shè)用兩個足夠大的籃子販運雞蛋，運到目的地可贏利 200%（增值為原來的 3 倍），每個籃子在路上被打翻從而損失 100%的概率是 ，兩個籃子是否被打翻是相互無關(guān)的，每個籃子各裝價值多少資金的雞蛋，可使多次販運后，資金增值最多？擲硬幣實驗表明，各投總資金的 23%可使長期累積增值或幾何平均增值最快（參看表 ）。下面我們將說明這是有數(shù)學(xué)道理的。不過既然我們選定了一種預(yù)測，我們就應(yīng)當(dāng)相信它是準(zhǔn)確的或者說是不錯的，如果你懷疑它，你可以用更加模糊的預(yù)測（像許多29 / 254股評家常做的那樣）來代替它——這比沒有好，從而降低因預(yù)測不準(zhǔn)帶來的風(fēng)險。因為資金是按乘積方式增長的（如表 所示），和盈虧順序無關(guān)。有人會說：實際投資過程中，收益的概率預(yù)測是不斷變化的，前面的優(yōu)化比例仍然適用嗎？回答是：仍然實用。比如概率預(yù)測變?yōu)?Fr ={|?，|}時，和前面相比，期望收益沒有變，但是盈虧幅度減小了，風(fēng)險也小了，最優(yōu)投資比例增大為 2/3，優(yōu)化的幾何平均收益增大為%。圖 不同下注比例增值比較27 / 254表 不同下注比例的盈利比較實驗序號擲幣結(jié)果張大膽下 100％李糊涂下 50％你下 25％王保守下 10％0 100 100 100 1001 B（贏） 300 200 150 1202 A（虧） 0 100 1083 B 0 200 4 B 0 400 5 A 0 200 6 B 0 400 7 A 0 200 8 B 0 400 9 A 0 200 10 A 0 100 ... ... 0 ... ... ...20 A 0 100 如果概率預(yù)測不同，最優(yōu)比例也不同。202。177。205。196。205。186。192。181。180。0100200300400500600 213。這樣可以看出，使幾何平均收益達最大的比例也就是使累積收益達最大的比例。假設(shè)你每次下注的比例是 q，則你的資金隨擲幣結(jié)果變化如表 所示。假設(shè)平均兩次，你輸一次贏一次，則你的資金會變?yōu)樵瓉淼模?+ ）（1?）= 倍。再說，如果你已經(jīng)是萬元戶了，下 10 元是不是太少了？每次將你的所有資金的 10%用來下注，這也許是個不錯的主意?？墒侵灰幸淮文爿斄?，你就會變成窮光蛋，并且永遠失去發(fā)財機會；你可能每次下注 10 元。 從擲硬幣打賭看投資比例優(yōu)化對于 節(jié)的打賭問題，假設(shè)你開始只有 100 元，輸了不能再借。國內(nèi)25 / 254許多股市期貨炒手對穩(wěn)定的 30％的年收益不屑一顧，他們情愿冒高風(fēng)險追求 100%－200 ％的年收益，但是一旦虧損，就前功盡棄。看來要成為世界級投資大師似乎并不難，只要持續(xù)年盈利 25%－30％就行。彼得幾何平均收益的微小變化多年累積后就導(dǎo)致投資業(yè)績的巨大差異（參見表 ）?？梢妿缀卧鲩L的厲害?？梢哉f投資組合的目的就是使幾何平均收益盡可能接近算術(shù)平均收益，從而減小投資風(fēng)險并提高增值速度。幾何平均小于算術(shù)平均可以通過圖 得到說明。1988－1989 年，日本股市從 21564 點上漲了 80％