第四章抽樣理論和參數(shù)估計(jì)(參考版)
2025-06-30 15:53本頁(yè)面
【正文】 因而我們可以放心乘坐。根據(jù)正態(tài)分布知識(shí)，%，所以這個(gè)概率是一個(gè)極小概率。 利用人群體重的數(shù)據(jù)構(gòu)造任意一個(gè)13人電梯乘客團(tuán)體平均體重的抽樣分布?！ 〖僭O(shè)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)電梯的限載重量為1000公斤，準(zhǔn)13人乘坐，已知人群體重的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為μ= ，σ= 。這樣規(guī)定對(duì)于保證乘坐電梯時(shí)的安全非常重要。以下是一些常用的區(qū)間估計(jì)。 根據(jù)小概率事件原理，上述以樣本均值為中心，“不包含”總體均值的概率只有（10095）%，在一次抽樣中不會(huì)發(fā)生，可忽略不計(jì)。根據(jù)正態(tài)分布理論和抽樣分布理論可知，（指抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差）的范圍內(nèi)的概率為95%；則將此關(guān)系中總體均值反算回去，%。若估計(jì)量反映了樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的信息，則滿足充分性。當(dāng)總體參數(shù)不止一個(gè)無(wú)偏估計(jì)時(shí)，其中方差最小者最有效。當(dāng)樣本容量越來(lái)越大時(shí)，估計(jì)值能越來(lái)越接近它所估計(jì)的參數(shù)。無(wú)偏性更精確的表述為：若樣本的某個(gè)統(tǒng)計(jì)量的均值等于該被估計(jì)的總體參數(shù)，則該樣本統(tǒng)計(jì)量是無(wú)偏的?！ ∫?、點(diǎn)估計(jì) 點(diǎn)估計(jì)是用樣本統(tǒng)計(jì)量來(lái)代替總體參數(shù)，一個(gè)好的點(diǎn)估計(jì)應(yīng)具備的如下條件： 無(wú)偏性。當(dāng)然，如果將點(diǎn)估計(jì)看成是區(qū)間估計(jì)的一種特例，可認(rèn)為參數(shù)估計(jì)實(shí)際上是在估計(jì)精確度和估計(jì)把握度之間進(jìn)行權(quán)衡的結(jié)果，要追求精確度，估計(jì)的區(qū)間就要盡可能小，則此時(shí)把握度必然降低；反之，若區(qū)間寫得較大，則估計(jì)的把握度就越大。雙側(cè)概率表（附表3）單側(cè)概率表（附表4）第三節(jié) 參數(shù)估計(jì)一般情況下，總體的情況是不清楚的，即總體的分布及總體的參數(shù)都可能未知，而參數(shù)估計(jì)就是解決總體的參數(shù)未知時(shí)如何通過(guò)樣本統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)總體參數(shù)的問(wèn)題。此時(shí)，若只使用單側(cè)概率（表的下端），則顯然T=。上圖43所示T分布中，(8)對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量值，在第一列找到自由度8這一行。這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系意味著在自由度7時(shí)，χ2=。 舉幾個(gè)簡(jiǎn)單例子說(shuō)明如何查表：最后，F(xiàn)分布由于有兩個(gè)自由度，因而在一個(gè)表中所能列出的F統(tǒng)計(jì)量和概率的對(duì)應(yīng)更少，附表4中行、列分別為兩個(gè)自由度（根據(jù)實(shí)際需要，分母自由度變化范圍更大）占用，則只能提供兩個(gè)最基本的概率與統(tǒng)計(jì)量相對(duì)應(yīng)，且這概率也是尾端概率。但卡方分布和T分布都有一個(gè)自由度參數(shù)，自由度不同，曲線形狀就不同；因而要對(duì)每個(gè)常用自由度編制一個(gè)如同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布那樣詳細(xì)的統(tǒng)計(jì)量（χ2或T）和P的對(duì)應(yīng)表會(huì)有很大篇幅?！ ∑?、抽樣分布的查表 對(duì)于這些抽樣分布的應(yīng)用，最重要的是知道如何在推斷統(tǒng)計(jì)中查相應(yīng)的概率分布表。 一般情況下，F(xiàn)分布的均值接近1，方差一般都小于 1，且隨兩自由度的增大方差越來(lái)越小，即圖形越來(lái)越收縮。不過(guò)其趨于正態(tài)分布的方式和卡方分布不同。若隨機(jī)變量 ， ，則統(tǒng)計(jì)量 其中參數(shù)nn2是兩個(gè)自由度。根據(jù)T分布的原始構(gòu)造，這個(gè)結(jié)論可以這樣來(lái)理解：即總體分布明確，參數(shù)μ和σ2給出時(shí)： 但如果母總體參數(shù)σ2不知道，則可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)代替之，則此時(shí)新的統(tǒng)計(jì)量不再服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而是一個(gè)新的分布，即自由度為n1的T分布。 一般情況下，T分布的均值為0，方差隨自由度 n 的增大從大于1的方向越來(lái)越接近1，更準(zhǔn)確的表示是： 和卡方分布一樣，T分布在實(shí)際應(yīng)用中也有一個(gè)更常用的構(gòu)造?！ 分布的圖象呈單峰對(duì)稱狀（以Y軸為對(duì)稱軸），非常接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，峰部比標(biāo)準(zhǔn)正分布低，兩端比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布高，當(dāng)自由度 n 很大時(shí)（n30,120），T分布與標(biāo)準(zhǔn)正分布已無(wú)法區(qū)分，所以T分布常常用于樣本容量小于30的小樣本，故也稱T分布理論為小樣本理論?！ ∥?、T分布 T分布是由正態(tài)分布和卡方分布構(gòu)造而成的一個(gè)新的分布?！ ∩厦孢@個(gè)公式在應(yīng)用中更為常見；從統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造可看出，它主要是采用“比商”的方式，將樣本方差和一個(gè)已知的總體方差相比從而對(duì)該樣本方差所來(lái)源的總體方差進(jìn)行推斷?！ ?shí)際上，對(duì)從任意一個(gè)正態(tài)總體中抽得的隨機(jī)變量樣本，其標(biāo)準(zhǔn)化后的Z分?jǐn)?shù)之平方和也服從自由度為n的χ2分布。χ2分布具有可加性：若有K個(gè)服從χ2分布且相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則它們之和仍是χ2分布，新的χ2分布的自由度為原來(lái)K個(gè)χ2分布自由度之和?！ ˇ?分布的均值為自由度 n，方差為2倍的自由度(2n)。其圖形始終在第一象限內(nèi)，呈正偏態(tài)，隨著參數(shù) n 的增大，χ2分布趨近于正態(tài)分布。故若為同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體中抽取的n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量
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