微積分之函數(shù)、極限與連續(xù)(參考版)
2025-06-23 05:31本頁面
【正文】 證 設(shè) １１ / 11。9．微分方程的通解為（ ）．答案：C A． B． C． D．提示：由題意可知，y的導(dǎo)數(shù)為0，所以y必定為常數(shù)C 10．下列微分方程中為可分離變量方程的是（?。? 答案：BA. ； B. ； C. ； D. 提示；形如的方程稱為可分離變量方程，可化為三、計算題（每小題7分，共56分）1． 解 2． 解 3． 解 利用分部積分法 設(shè)，則， 4． 解 利用分部積分法 設(shè)，則， 5． 解 利用分部積分法 設(shè)，則， 6．求微分方程滿足初始條件的特解．解 與一階線性微分方程標準式比較，可知 ， 將代入上式，得，所以原微分方程滿足初始條件的特解為 7．求微分方程的通解。4．設(shè)是連續(xù)的奇函數(shù)，則定積分（ ） 答案：DA． B． C． D． 0提示：奇函數(shù)在對稱積分限下的定積分為0 。二、單項選擇題（每小題2分，共20分）1．在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點（1, 4）的曲線為（ ）．答案：AA．y = x2 + 3 B．y = x2 + 4 C． D． 提示：曲線方程由確定，將代入得，所以通過點（1, 4）的曲線為。所以 ，它是1/4半徑為a的圓的面積（參見P125（3））6． . 答案：0提示：因為定積分的結(jié)果是一個數(shù)值（即常數(shù)），常數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù)為0。提示：設(shè)，則。答案：提示：切線在點（4，5）處的斜率為，根據(jù)切線方程，得該切線方程為 ，即4．若 ?。? 答案：2 提示：上式被積函數(shù)第一項和第二項都是奇函數(shù)，在對稱積分限下的積分結(jié)果為0，第三項為是偶函數(shù)，在對稱積分限下可化為，所以5．由定積分的幾何意義知，= 。60x0xxy解 設(shè)矩形的一邊邊長為x厘米，則另一邊邊長為（60x）厘米，邊長為x厘米的邊繞軸旋轉(zhuǎn)得一圓柱體，其底面積為π(60x)2，旋轉(zhuǎn)體的體積為 令，即 其中是極小值點，此時體積為0；是極大值點，也是最大值點，對應(yīng)的圓柱體最大體積值為 2．欲用圍墻圍成面積為216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最??？ 解 設(shè)土地一邊長為，另一邊長為，共用材料為于是 =3 令得唯一駐點（舍去） 10分 因為本問題存在最小值，且函數(shù)的駐點唯一，所以，當土地一邊長為，另一邊長為18時，所用材料最省. 五、證明題（本題5分）1函數(shù)在（是單調(diào)增加的．證 只需證明當時，有 因為 當時，即有 所以，當時，是單調(diào)增加的。7．=（ ）． 答案：C
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