多元函數(shù)微分法及其應用(參考版)
2025-06-21 08:16本頁面
【正文】 【注】 當u=f(x，y，z)可微時： 其中是。解:①={}={4}={4,6,2}、 由于， 則【補充】 ② 取B=(3,7)、則、單位化={}、 ∴ =二、梯度 定義：（數(shù)量場）函數(shù)z=f(x，y)在處的梯度定義為：=。即向徑沿本方向時方向?qū)?shù)最大?！纠浚呵髍=沿=的方向?qū)?shù)，解：因為：r為向徑的模。 ∴ z=f(x+x，y+y)f(x，y)= 則：=【注】:u=f(x，y，z)在P點可微。取定y=0 == 定理1: 設z=在P(x，y)處可微分,則在P點沿任意方向的方西拿過導數(shù)均存在、且=+其中：=={,}，其中：為x軸到的轉(zhuǎn)角。即=【注】:若P(0,0),方向為x軸的正向。如果存在，(其中=)。是函數(shù)關于y的變化率，即關于y軸的方向?qū)?shù)。說明2：方向?qū)?shù)是導數(shù)真正意義上的推廣。說明1：數(shù)量場是一種發(fā)生在一定空間中的自然現(xiàn)象，這種自然現(xiàn)象是客觀存在的，并具有數(shù)量特征。教學注意點：偏導數(shù)只研究了函數(shù)沿坐標軸方向的變化率，而實際問題中往往要求知道函數(shù)沿任何方向的變化率；另外要強調(diào)梯度的模就是方向?qū)?shù)的最大值，梯度的方向就是函數(shù)值增加得最快的方向。+4y178。取F(x，y)= (2x+3y6)178。+4y178。問題等價與求d=(2x+3y6)178。+4y178。=4上求一點，使其到直線2x+3y6=0的距離最短。=a x=y=z=.由于最大值一定存在，從而（x0,y0,z0）為最大值點，且最大值為：V=()3ex(94Ⅱ)在橢圓 x178。絕對不能用條件極值的判別法判別這些可能的極值點是否是極大（?。┲迭c，只能用實際問題的性質(zhì)去判斷（最大，最小值一定存在）【例】：求表面積為2a，體積最大的長方體的體積。x，y不同時為0，求z=在=0條件下的極值？解：設（x0，y0）上z=在=0條件下的極值。解：（1）在D的內(nèi)部：且z（2，1）=4（不該計算A，B，C）（2）在OA，OB上，有y=0或x=0，∴z=0（3）在線段AB上，y=6x，且，代入z，則z=2x312x2，∴=6x2—24x=0x=0（舍）或x=4，∴ y=2，∴z（4，2）=64綜上：M=4，m=64。解：求駐點：解得：駐點（/3，/6）A=（/3，/6）=，B=/2，C=，由于AC—B2=3—3/40，從而（/3，/6）為其極值點，又A0故為極大值點且極大值：z（/3，/6）=3/2二、最大值與最小值（最值）我們在高等數(shù)學上冊知道：在一元函數(shù)中最大值極大值[（1）當最值在區(qū)間內(nèi)部取得時，一定為極大值，而在端點取得最值一定不是極值]二元函數(shù)：M，m的求法：先求出區(qū)域的內(nèi)部的所有可能極值(駐點及所有偏導數(shù)不存在的點)并計算函數(shù)值，最后比較這些函數(shù)值的大小，最大的為M，最小的為m。（x0，y0）為f（x，y）的駐點，令A==（x0，y0）B=（x0，y0）C=（x0，y0）則：（1） 當ACB20時（x0，y0）為極值點，且A0時為極小值點，A0時為極大值點。（2）極值點可能是駐點，也可能是偏導數(shù)不存在的點。同理：f（x0，y0）=0。 定理1：（必要條件）設z=f（x，y）的偏導數(shù)存在，（x0，y0）為f（x，y）的極值點，則（x0，y0）=（x0，y0）=的點為f（x0，y0）的駐點。都有f（P）f（Po）則稱f（Po）為f的一個極小值。四、作業(yè) 同步訓練習題在上學期已知：討論一元函數(shù)極值時：極值點駐點 極值點可能是導數(shù)為0的點或?qū)?shù)不存在的點，∴極值點駐點，駐點極值點，y=x3在x=0點為駐點但非極值點。說明2：極值的充分條件可以通過下一節(jié)的泰勒公式來說明。三、教學設計與安排時間分配：（1） 多元函數(shù)的極值和最大、最小值（10分鐘）；（2）極值的必要條件（10分鐘）；（3）極值的充分條件（20分鐘）；（4）例題（20分鐘）；（5）條件極值和拉格朗日乘數(shù)法（30分鐘）；（6） 例題（10分鐘）。 教學注意點： 實際問題一般總要受到多個因素的制約，因此有必要研究多元函數(shù)的極值與最值問題。P0(1，2，5)∴ 切平面方程：2x+2yz=0第七節(jié) 多元函數(shù)極值一、內(nèi)容要點1． 多元函數(shù)的極值及最大值、最小值2． 條件極值 乘數(shù)法 二、教學要求和注意點教學要求：1． 理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，2． 掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。②令F（x，y，z）=，則=={2，8，12}又可取n={1，4，6}得：法線：==【例】：(03I)求曲面z=x+y與平行于xy+2z=0的切平面方程解：令F（x，y，z）=，={2x0，2y0，1}==x0 =1，y0=2。即【例】：①(94I)求曲面在點（1，2，0）的切平面方程。∴為在P0點法線 ∴切平面方程：法線：==：z=f(x，y)，(，連續(xù)且不同時為0)則法向量={，，1}或{，1}注：取={，，}稱為的方向余弦。(t)+ ∴F（x(t)，y(t)，z(t)）=0兩邊對t求導有：：F（x,y,z）=0設F（x，y，z）=0在P0(x0,y0,z0)處有連續(xù)導數(shù)且，則曲線=F(x，y，z)=0在P0的法向量為：=解：設：為過向量P0點且在上的任意一條曲線，則在P0點的法向量為：={(t0)，(t0)，(t0)}。【例】:求在（1，1，1）處的切線及法平面方程。（x）,z180。解：Г：: 切向量＝∴ 切線方程：＝＝法線方程：（xx）+(y y(x0))+ (zz(x))=0一般方程Г：，J==。(t0 )(zz)=0【例】：求 在t=處的切線及法平面解：切點：P=(,),切向量={a,0,c}.∴切線方程：==法平面：a(x)c(z)=0【例】 (92I),曲線的所有切線中，與平面：x+2y+z=4平行的切線有（ ）（A）不存在 （B）只有一條 (C)只有二條 (D)三條解：切向量＝＝{１，2t,3}∵ //∴ ∴ 1+2(2t)+3=0 t=1或t=。(t0)(xx)+y180。(t0 ) }為Г在對應點的切向量。(t0),y180。1， 參數(shù)方程形式：設曲線方程Г： ,且求Г在P0{x(t0),y(t0),z(t0)}的切線及法平面（與切線垂直切過P0的平面稱為Г在P0 點的法平面）解：求割線 P0P的方程。這是因為一般曲面方程都是用初等函數(shù)來表示的，而初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都有連續(xù)的偏導數(shù)，因此一定可微，既切平面一定存在。對位置向量的方向和大小要作出物理解釋。第六節(jié) 偏導數(shù)的幾何應用一、內(nèi)容要點1． 空間曲線的切線與法平面2． 曲面的切平面與法線二、教學要求和注意點教學要求：2． 會求空間曲線的切線與法平面2．會求曲面的切平面與法線教學注意
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