【正文】 ,AP=91=9,然后求出直線 MN與 y軸的交點到點 A的距離 ,再與 OA的長比 較 ,即可判斷 MN所在直線經(jīng)過原點 。915176。,求得 t=? =6,所以 PA的長為 6。=75176。, ∠ MPQ=180176。60176。, ∠ NPQ=180176。1115176。tan 45176。=45176。, ∴ t=? =6,∴ PA的長為 6. (2)MN所在直線經(jīng)過原點 , 理由 :當 t=9時 ,∠ APN=180176。 (3)如圖 2,當點 P在直線 l上時 ,求直線 l分半圓 P所成兩部分的面積比 . 【拓展】 如圖 3,當半圓 P在直線 l左側(cè) ,且與直線 l相切時 ,求點 P的坐標 . 【探究】 求出直線 l與半圓 P有公共點的時間有多長 . 3 3解析 【發(fā)現(xiàn)】 (1)93? 。的速度繞點 P順時針旋轉(zhuǎn) ,直線 l以每秒 1個單位長度的速度沿 x軸負方向運動 (與 x軸的交點為 Q).當 P、 B重合時 ,半圓 P與直線 l停止運動 .設(shè)點 P的運動時間為 t秒 . 【發(fā)現(xiàn)】 (1)點 N距 x軸的最近距離為 ,此時 ,PA的長為 。62+? 66=(18+9π)cm2. (3)如圖 2,當☉ O與邊 AB所在的直線相切時 (點 O在點 B左側(cè) ),易知 OH=BH=6 cm,OB=6? cm, 12214 122OC=(126? )cm,∴ x=? =(93? )s. ? 圖 2 如圖 3,當☉ O與邊 AB所在的直線相切時 (點 O在點 B右側(cè) ),易知 OH=BH=6 cm, OB=6? cm,OC=(12+6? )cm, ∴ x=? =(9+3? )s. 2 6 12 6 22?? 22 26 12 6 22?? 2? 圖 3 如圖 1,x=6 s時 ,☉ O與 AC所在的直線相切 . 易知當 x=0 s時 ,☉ O與 AC所在的直線相切 .綜上所述 ,當 x=0或 (93? )或 6或 (9+3? )s時 ,半圓 O 所在的圓與△ ABC的邊所在的直線相切 . 2 22.(2022石家莊二模 ,26)如圖 1,已知點 A(0,9),B(24,9),C(22+3? ,0),半圓 P的直徑 MN=6? ,且 P、 A 重合時,點 M、 N在 AB上 ,過點 C的直線 l與 x軸的夾角 α為 60176。,∴ HC=HB, ∴ OH⊥ BC,OH=OB=OC=6 cm, ∴ S=S扇形 OHC+S△ OHB=? , ∵ AC=BC,∠ ACB=90176。 (2)在 (1)的條件下 ,求半圓 O與△ ABC的重疊部分的面積 S。,∠ ABC=45176。),BD有最小值 1,進而得出當 B、 A、 D三點 在同一條直線上時 (∠ PBC=135176。 (3)當 B、 P、 D三點在同一條直線上時 ,利用勾股定理可得 BD的長 。? . 22AC BC?22AB AD? 312思路分析 (1)根據(jù) SAS即可證明△ ACD≌ △ BCP,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得 AD=BP。1。,AD=BP=1, ∴∠ BDA=∠ CDA∠ CDP=90176。,則 ∠ CPB=135176。或 135176。,∠ DCP=90176。 (4)BD的最小值為 ,此時 tan∠ CBP= 。 (2)若 DP與☉ B相切 ,則 ∠ CPB的度數(shù)為 。,AC=BC=? ,以點 B為圓心 ,1為半徑作圓 .設(shè)點 P為☉ B上一點 , 線段 CP繞著點 C順時針旋轉(zhuǎn) 90176。②當☉ P與矩形 ABCD的邊 AD所在的直線相切時 ,根據(jù) AN+ NO=AO列式可得 t的值 。 ③當☉ P與矩形 ABCD的邊 CD所在的直線相切時 ,如圖 4, ? 圖 4 過 P作 PM⊥ DC于 M,交 OA于 H,則 PM=OP=2t, PH=? t, ∵ PM+PH=BC,∴ 2t+? t=2,t=42? , 綜上所述 ,當☉ P與矩形 ABCD的邊所在直線相切時 ,t的值是 ? 或 ? 或 42? . 123 4 2 33?33 3233 4 2 33? 3思路分析 (1)在直角△ OBC中 ,先根據(jù)銳角的正切求 ∠ BOC的度數(shù) 。且 PO=PM,∴ △ POM是等邊三角形 , ∴ OM=2ON=2t=? ,PN=? t=2, ∵ S小弓形 OM=S扇形 POMS△ POM, ∴ S小弓形 OM=? ? ? 2=? π? ? , 123233 433233433 324360 3360? ??? ????12 433 89 433S大弓形 OM=S圓 PS小弓形 OM=π? ? =? π+? ? . 故☉ P與線段 OA圍成的封閉圖形的面積為 ? π? ? 或 ? π+? ? . (3)①由 (2)可知當☉ P與矩形 ABCD的邊 BC所在的直線相切時 ,t=? 。,∴ 在 Rt△ PNO中 ,∠ OPN=30176。, 即 PC⊥ BC(此時直線 BC與☉ P相切 ), 3過點 P作 PN⊥ OM于 N,∴∠ PNB=∠ NBC=∠ BCP=90176。+30176。=60176?！?BOC=90176。=30176。=? , ∴ AP=? (4+2? )=2? +3. 3BCOB 223333APOA32 3 3故 PA的最小值是 2? +3. (2)如圖 2,由題意得 :OP=r=2t, ? 圖 2 設(shè)☉ P與 OA的另一個交點為 M, 連接 PC、 PM,則 PC=PM=PO=r=2t, ∴∠ POC=∠ PCO=∠ BOP∠ BOC=60176。. 當 AP⊥ OP時 ,PA的值最小 , OA=AB+OB=4+2? , 在 Rt△ AOP中 ,∵∠ AOE=60176。,∴∠ OBC=90176。 (3)當☉ P與矩形 ABCD的邊所在直線相切時 ,求 t的值 . ? 3解析 (1)30176。.動點 P從點 O出發(fā) ,以每秒 2個單位長度的速度沿射線 OE方向運動 ,以 P為圓心 ,OP為 半徑作☉ P的運動時間為 t秒 . (1)∠ BOC= ,PA的最小值是 。E=? ,即可求出△ CDP39。F=? ,進而得出 P39。作 AB的垂線 ,交 AB于 F,交 CD 于 E,先由勾股定理得出 AP39。、 CP39。=45176。=∠ ADP=135176。最 小 。=DP=3. 思考 :(1)當 PD⊥ AD時 ,△ APD的面積最大 =? 53=。的面積為 ? 或 ? . 345? 125125 375 12 375 372132 372思路分析 發(fā)現(xiàn) :連接 DP,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)得出△ ABP39。E=5+? =? ,∴ △ CDP39。作 AB的垂線 ,交 AB于 F,交 CD于 E, 同理得 P39。、 CP39。的面積 =? 5? =? 。F=? =? ,∴ P39。=AP=? =4, 在 Rt△ ABP39。B=∠ APD=90176。, ∵ △ ABP39。,過點 P39。. 探究 : 分兩種情況 :①如圖所示 : ? 連接 DP、 DP39。90176。, 12222? 2∴∠ CBP39。45176。.當點 P在射線 BD上時 ,如圖所示 : ? 點 P與點 B之間的距離最大 , 此時 ∠ ABP39。,∴ PP39。=AP=53=2, ∵∠ PAP39。最小 ,此時 P39。,39。≌ △ ADP(SAS),∴ BP39。=∠ DAP, 在△ ABP39?！?DAP39。, ∴∠ BAD∠ DAP39。=90176。的面積 . ? 解析 發(fā)現(xiàn) : 連接 DP,如圖所示 : ? 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 AP39。 (3)當點 P與點 B之間的距離最大時 ,∠ CBP39。 (2)點 P與 P39。的大小不變 ,BP39。,連接 BP39。=? . 126二、與圓相關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題 1.(2022石家莊正定二模 ,26)如圖 ,正方形 ABCD的邊長是 5,圓 D的半徑是 3,在圓 D上任取一點 P, 連接 AP,將 AP順時針旋轉(zhuǎn) 90176。B的長 ,從 而求出 OO39。P,則易證四邊形 OCO39。B、 O39。,連接 OO39。 及平行線的性質(zhì)求出 ∠ PQO=∠ AOQ=30176。=? =2? , ∴ OM=? OO39。BQ︵2231? 2在 Rt△ OCO39。BP中 ,O39。C∥ OB,∴ 四邊形 OCO39。恰好與半徑 OA相切于 C點 ,∴ O39。是 ? 所在圓的圓心 , ∴ O39?！?PQ,O39。與 PQ交于點 M, 則 OM=O39。C、 O39。、 O39。, 所以弧 AQ的長 =? =? π. ? (2)? .如圖 ,找點 O關(guān)于 PQ的對稱點 O39。, ∵ OP=? OQ,∴∠ 1=30176。 (2)將扇形