rk求解微分方程ppt課件(參考版)
2025-05-08 18:22本頁面
【正文】 。1( 0) 0 。?單步法 T a y l o r E u l e r R u n g e K u tt a至此, 我們已經(jīng)介紹了 展開法、 法、 法、中點法等常微分方程的解法. 它們有個共同的特點：每次計算的時候, 只用到前一步的信息, 完成一次計算后, 前一步的信息即可以從計算機中釋放.( S i n g l e S t e p M e t h o d) .?這一類方法稱為單步法單步法只需一個初值條件即可啟動.單步法一般可以變步長.單步法只需保存一次計算值.作業(yè) ? ?2322 2212.( 0) 1 。 ( , ) 。.1 2 2 1hhhhpnn ph h hh h hn n n n n nppc c cY Y c hd Y Y d Y Y???? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?假定 , 記為 , 則可以估計誤差如下：因此可以從兩次計算當(dāng)中估計出每一步的截斷誤差, 有了這個誤差估計之后,通過與控制誤差限比較, 就可以控制步 注意這個方法增加了長. 計算量.?RungeKuttaFehlberg方法 Fehlberg設(shè)計了一個更加精巧的嵌套方法如下： p p + 1 :在采用一個 階方法的同時, 計算一個 階的結(jié)果, 并由此給出誤差估計11p ( ) pnnY Y t h c h ?? ? ? ?階的方法：21p 1 ( ) pnnY Y t h c h ??? ? ? ?階的方法：p因此 階方法的局部截斷誤差可以近似為：.1 11 ??? ?? nnn YYd 制步長。 ?變步長的 RungeKutta方法 作為妥協(xié)，如果能在計算過程中實時控制步長的大小，就可以在獲得較高的計算速度的同時，保證較高的精度。計算量同時增加了一倍但我們注意到右函數(shù)的得精度提高一階。局部誤差會有比較大如果采用固定步長計算的步長等等因素相關(guān)。、分別須計算階數(shù)相同，即它們每步數(shù)的次數(shù)和方法，每一步計算右函二階、三階、四階的432K u t t aR u n g ??7)9(,6)8(,6)7(,5)6(,4)5()(K u t t aR u n g e)4(.3???????NNNNNvNvN階數(shù)，則有：次右函數(shù)可達到的最高表示計算若用比階數(shù)大。下面列出最常見的一的局部截斷誤差滿足公式，它們導(dǎo)出各種四階的類似前面的推導(dǎo)，可以)(K u t t aR u n g e51 hOd n ???? ????????????????????????????),()2,21()2,21(),(226342312143211hKYhtFKKhYhtFKKhYhtFKYtFKKKKKhYYnnnnnnnnnn?四階顯式 RungeKutta方法 xn xn + h/2 xn + h f1 f2 f3 f4 ? ?4321 2261 fffff ????f.1)0(,:ODE 2 ??? yxydxdy求解初值問題xexxy ???? 222易知其精確解為：方法求解：分別用二階、四階步長都取為 ??hx 四階 二階 真解 四階誤差 二階誤差 例 結(jié)果及比較 結(jié)果及比較 .).10(1514???
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