邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性(參考版)
2025-05-05 05:11本頁(yè)面
【正文】 1 . 設(shè)隨機(jī)變量 ? ?YX , 的概率密度為 ??? ????其他,010,1),(xxyyxf 問(wèn) X 與 Y 是否相互獨(dú)立？ 習(xí)題 9 設(shè) X 和 Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的 隨機(jī)變量 ， X 在 )1,0( 上服從均勻分布， Y 的概率密度為 ?????????0,00,21)(2yyeyfyY (1) 求 X 和 Y 的聯(lián)合概率密度； (2) 設(shè)含有 a 的二次方程為 022 ??? YXaa ，試求 a 有實(shí)根的概率。 解 (X,Y)在 G上服從均勻分布，則聯(lián)合密度函數(shù)為 O 1 2 x y 1 y=x x=2y G ????????GyxGyxyxf),(0),(21),()()2,()0,0( YXPYXYXPVUP ????????? ? ?????yx xdydxd x d yyxf1014121),(0)2,()1,0( ?????? YXYXPVUP)2()2,()0,1( YXYPYXYXPVUP ?????????? ? ??????yxyyydxdyd x d yyxf21024121),()2()2,()1,1( YXPYXYXPVUP ????????? ? ?????yxxdydxd xd yyxf22020 2121),((U,V)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律為 V U 0 1 pi? 0 1/4 0 1/4 1 1/4 1/2 3/4 p?j 1/2 1/2 經(jīng)檢驗(yàn)， U和 V不是相互獨(dú)立的。 習(xí) 題 6 . 設(shè) 二維 隨機(jī)變量 ( X , Y ) 的概率密度為 ??? ????其他,00,),(yxeyxfy 求 邊緣概率密度。由此可知，由邊緣分布并不能唯一地確定聯(lián)合分布 。 O x y=x2 y=x y 解 (1) ? ?????????? 1),( d x d yyxf? ???????????1112 12dxy d yCxx421?C(2)確定積分區(qū)域 ?? ???xxy d yxdxYXP2 203421)( 210???????10:21 xxyxD????????111: 2xyxD4習(xí) 題將 ２ 只紅球和 ２ 只白球隨機(jī)地投入已經(jīng)編好號(hào)的 3 個(gè)盒子內(nèi)紅球的數(shù)目，表示落入第設(shè)個(gè)盒子中去 1, X及邊緣分布律。 解 (X,Y)的全部可能取值為 (1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)， 5個(gè)球從中任取 2個(gè)，共有 C52=10種取法。每次從中任取兩個(gè)球，以 X和 Y分別表示這兩個(gè)球中編號(hào)最小的號(hào)碼和最大的號(hào)碼。 解 X的可能取值為 0， 1， Y的可能取值為 0， 1。 (5) 若 (X, Y) 服從二元正態(tài) N (?1, ?2 ,?12, ?22 , ? ) 則 X與 Y 獨(dú)立的充要條件是 ? = 0. 習(xí)題 1 設(shè)袋中有 a+b個(gè)球， a只紅球， b只白球。,(~),( 222211 ?????NYX證明 X與 Y相互獨(dú)立的充分必要條件為 ?=0 證 (X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為 ???????? ???????????2222212121212)())((2)()1(21221 121),( ??????????????yyxxeyxfRyx ?,21212)(121)( ????????xX exf 22222)(221)( ????????yY exf邊緣密度函數(shù)為 Rx? Ry?f(x,y)=fX(x)fY(y)成立的充分必要條件是 ?=0， 而 X與 Y相互獨(dú)立的充分必要條件是 f(x,y)=fX(x)fY(y)。( 3 ) , .C y x x y xX Y f x yCXYXY? ? ? ? ??? ??設(shè)其 它求 的 值求 關(guān) 于 關(guān) 于 的 邊 緣 概 率
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