三、多維隨機(jī)變量及其分布(參考版)
2025-07-20 23:42本頁面
【正文】 021( ?? XZP考查：隨機(jī)變量的獨立性和全概公式 . 解 (1)由于 X,Y相互獨立，于是 121 1 1( 0 ) ( 0 ) ( 0 )2 2 211 ( ) ( )22YP Z X P X Y X P Y XP Y f y d y??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??錯解： 111 . ( 0 ) ( )22112 . ( , 0 ) ( ) ( 0 )22113 . ( , 0 ) ( )22P Z X P ZP Z X P Z P XP Z X P Y? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?另解： 1211( 0 , ) ( 0 , )1 22( 0)2 ( 0) ( 0)11 ( ) ( )22YP X Z P X YP Z XP X P XP Y f y dy??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??（沒有過程） （ X與 Y不獨立） (2) 先求 Z的分布函數(shù) .由于 )1(),0(),1( ???? XXX構(gòu)成一個完備事件組，因此根據(jù)全概率公式得 ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 )( 0) ( 0) ( 1 ) ( 1 )1[ ( 1 ) ( 0) ( 1 ) ]31[ ( 1 1 ) ( 0) ( 1 1 ) ]31[ ( 1 ) ( ) ( 1 ]31[ ( 1 ) ( ) (3ZY Y YF z P X Y z P X Y z X P XP X Y z X P X P X Y z X P XP X Y z X P X Y z X P X Y z XP Y z X P Y z X P Y z XP Y z P Y z P Y zF z F z F z? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 1 ) ]?1( ) [ ( 1 ) ( ) ( 1 ) ]3Z Y Y YF z F z F z F z? ? ? ? ?1( ) ( ) [ ( 1 ) ( ) ( 1 ) ]3Z Z Y Y Yf z F z f z f z f z?? ? ? ? ? ???? ??? ,0,10,1)(，其它yyfY1, 1 2 ,30 , z?? ? ??? ??? 其 它 .故 Z的概率密度 3.(08134)設(shè)隨機(jī)變量 X和 Y獨立同分布 ,分布函數(shù) 為 F(X),則 的分布函數(shù)為 m a x ( , )Z X Y?22( ) ( ) . ( B ) ( ) ( ) .( ) 1 [ 1 ( ) ] . ( D ) [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ] .A F x F x F yC F x F x F y? ? ? ?解 選 A. 1( ) ( ) ( m a x( , ) ) ( , ) ( ) ( ) .ZXYF z P Z z P X Y zP X z Y z F z F z? ? ? ?? ? ? ?因 X和 Y獨立同分布，設(shè) Z的分布函數(shù)為 F(x). 2( ) ( ) ( m a x( , ) ) ( , ) ( ) .ZF x P Z x P X Y xP X x Y x F x? ? ? ?? ? ? ?一般地 考查：隨機(jī)變量函數(shù)的分布、獨立性 B. 應(yīng)注意到 Z的分布函數(shù)是一元函數(shù) . C. 實際上這是 min{X,Y}的答案 . 錯解： 4.（ 06134） 設(shè)隨機(jī)變量 X和 Y獨立 ,且服從區(qū)間 [0,3]上的均勻 分布，則 ( m a x( , ) 1 ) __ __ __ __ .P X Y ??91( m a x( , ) 1 ) ( 1 , 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 1 3 3 9P X Y P X Y P X P Y? ? ? ? ? ? ?? ? ?考查：獨立性和均勻分布 5.（ 07134） 設(shè)隨機(jī)變量 (X,Y)服從 二維正態(tài) 分布，且 X和 Y 不相關(guān)， ( ) ( ) . ( ) ( ) .()( ) ( ) ( ) . ( ) .()XYXXYYA f x B f yfxC f x f y Dfy( ) , ( )XYf x f y 分別表示 X和 Y的概率密度 . ( ) _ _ _ _ _ .XYf x y ?則在 Y=y的條件下 ,X的條件概率 )(A X與 Y相互獨立 ,0?? (X與 Y不相關(guān) ) 若 (X,Y)服從 二維正態(tài) 分布，則 一般地 X,Y 相互獨立 X與 Y不相關(guān) 考查：二維正態(tài)分布 ,獨立性 ,不相關(guān) ,二維概率密 度，邊緣密度和條件密度，是一道綜合題。YYF y f y??當(dāng) 時， 14y??11( ) ( ) ( 1 0 ) (0 ) = , 24YF y P y X y P X P X y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?故 Y的概率密度 3, 0 1 ,81( ) , 1 4 ,80,Yyyf y yy??????? ? ??????其 它 .1 ( ) 。 解 (1)Y的分布函數(shù)為 2( ) ( ) ( )YF y P Y y P X y? ? ? ?當(dāng) 時， 0y ? ( ) 0 , ( ) 0 。zZf z z d x z z? ? ? ??當(dāng) 時， 12z?? 1 21( ) ( 2 ) ( 2 ) 。3 z? ? ?故 222 , 0 1 ,( ) ( ) ( 2 ) , 1 2 ,0 , ZZz z zf z F z zz? ? ? ????? ? ? ???? 其 它法 2 利用卷積公式： ? ?? ???? dxxzxfzf Z ),()(2 ( ) , 0 1 , 0 1 ,( , ) =0 , x z x x z xf x z x? ? ? ? ? ? ? ??? ?? 其 它2 , 0 1 , 1 ,=0 , z x x z x? ? ? ? ? ???? 其 它 , ( ) 0。2( YXP ?（ 2） Z=X+Y的概率密度 fZ(z). 解 (1) 2( 2 ) ( , )xyP X Y f x y d x d y??? ??20xy??o xy111D 1 12027 ( 2 ) .24yd y x y d x? ? ? ???1( 2 )Dx y d x d y? ? ???123001( ) ( 2 ) ( 2 ) .3
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