【正文】 2 ．設(shè) )4,(2?NX ～， )5,(2?NY ～，記 }4{1 ??? ?XPp ，}5{2 ??? ?YPp 則 (A) 對任意的 μ ，都有 21 pp ? ； ( B) 對任意的 μ ，都有 21 pp ? ； (C) 只有對個(gè)別值才有 21 pp ? ； (D) 對任意的 μ ，都有 21 pp ? ．４．某地外語成績（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)? ７２分，９６分以上占考生總數(shù) ％，求考生成績在６０分至 ８４分之間的概率． 解： 由題設(shè)知：外語成績Ｘ近似服從正態(tài)分布 X～ N（ μ,σ2） 其中 μ＝７２， σ2未知，由于 )24(1)7296(1}96{ ????????? ??XP即： )24( ?? ?查表得： 224 ??因此 σ=12 所以 )12 7260()12 7284(}8460{ ???????? XP68 )1(2)1()1( ?????????（四）隨機(jī)變量函數(shù)的分布 5 ．設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為２的指數(shù)的分布，證明XeY 21 ??? 在 （０，１）內(nèi)均勻分布．解： Ｘ服從參數(shù)為２的指數(shù)分布 ?????? ?0002)( 2xxexf xxey 。 當(dāng) x 0 時(shí)， ? ??? ?? ??? x x dtdttpxF 。 pqkqppqkXP kk ?????? ?? 1,3,2,)( 11 其中? 。亦 即故 需由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得， 這說明， X的取值幾乎全部集中在 [3,3]區(qū)間 內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到 %. 當(dāng) X～ N(0,1)時(shí)， P(|X| 1)=2 (1)1= ? ?? ?P(|X| 2)=2 (2)1= ? ?P(|X| 3)=2 (3)1= 四、 3 準(zhǔn)則 ?將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布 , 2X ~ ( , )N ?? 時(shí)， ( | X | ) 0 . 6 8 2 6P ??? ? ?( | X | 2 ) 0 . 9 5 4 4P ??? ? ?( | X | 3 ) 0 . 9 9 7 4P ??? ? ?可以認(rèn)為， X 的取值幾乎全部集中在 [ 3 , 3 ]? ? ? ??? 區(qū)間內(nèi) . 這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作 “ 3 準(zhǔn)則 ” （三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則） . ??3 準(zhǔn)則 的圖形表示 x ? ??? ??? ??? 3??? 3可以認(rèn)為， X 的取值幾乎全部集中在 ]3,3[ ???? ?? 區(qū)間內(nèi) . 典型例題 一、離散型隨機(jī)變量 （一）求概率分布 ，３件次品，安裝機(jī)器時(shí)，從中任取 一個(gè)，直到取到正品，就下列兩種取樣方式 a)放回取樣； b)不放回取樣，計(jì)算抽取次數(shù)Ｘ的概率分布． p，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)直到試驗(yàn)成功兩次， 求試驗(yàn)次數(shù)Ｘ的概率分布． 3. 拋擲一枚不均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為 p (0＜ p＜ 1）， 設(shè) X為一直擲到正、反面都出現(xiàn)時(shí)所需要的次數(shù)，求 X的分布列。 例 將一溫度調(diào)節(jié)器放置在存儲著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器定在 d℃ ，液體的溫度 X（以 ℃ 計(jì)）是一個(gè)隨機(jī)變量，且 X～ N(d,)。許多較復(fù)雜的指標(biāo)，只要在受到的大量因素作用下每個(gè)因素的影響都不顯著，且因素相互獨(dú)立，也可認(rèn)為近似服從正態(tài)分布。在自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象中，大量隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布。 ????????xexfx,)()(22221 ? ??? 決定了圖形的中心位置， 決定了圖形中峰的陡峭程度 . ?? 正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn) ),( 2??N 這說明曲線 f(x)向左右伸展時(shí)，越來越貼近 x軸 . 即 f (x)以 x軸為漸近線 . x→ ?∞ 時(shí)， f(x) → 0. 5. x = μ ? σ 為 f (x)的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo) . x ? ??? ??? 用上海 99年年降雨量的數(shù)據(jù)畫出了頻率直方圖 . 從直方圖，我們可以初步看出，年降雨量近似服從正態(tài)分布 . 下面是我們用某大學(xué)男大學(xué)生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖 . 紅線 是擬合的正態(tài)密度曲線 可見，某大學(xué)男大學(xué)生的身高應(yīng)服從正態(tài)分布 . 人的身高高低不等 ， 但中等身材的占大多數(shù) ， 特高和特矮的只是少數(shù) ， 而且較高和較矮的人數(shù)大致相近 ， 這從一個(gè)方面反映了服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的特點(diǎn) . 除了我們在前面遇到過的年降雨量外 ,在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；某地區(qū)成年男子的身高、體重；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布 . 設(shè) X~ , ),( 2??NX的分布函數(shù)是 ?????? ?????xdtexFxt,)()(22221 ???? 正態(tài)分布由它的兩個(gè)參數(shù) μ和 σ唯一確定， 當(dāng) μ和 σ不同時(shí)，是不同的正態(tài)分布 . 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布 221()2txx e d t?????? ?二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 1,0 ?? ?? 的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 . 221( ) ,2xx e x???? ? ? ? ? ?其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和 表示： ()x? ()x?)(x?它的依據(jù)是下面的定理： 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 . 根據(jù)定理 1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問題 . ???? XY ~N(0,1) ),(~ 2??NX ,則 設(shè) 定理 1 2( 1 ) ~ ( , ( ) )Y a X b N a b a??? ? ? ，( 0 ) ,ab?其 中 為 常 數(shù)(2) 222()222Y{ Y } { }1,21{ Y } ( ) ,2Y ~ ( 0 , 1 ) .txuxXXP x P x P X xe dttuP x e du xXN??????????????????????????????? ? ? ? ? ????????? ? ? ?????證 ： （ ） 的 分 布 函 數(shù) 為令 ， 得由 此 可 知 書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表 . 三、正態(tài)分布表 ( ) 1 ( )xx? ? ? ? ?221()2txx e d t?????? ?表中給的是 x0時(shí) , Φ(x)的值 . 當(dāng) x0時(shí) x? x),(~ 2??NX若 ???? XY ~N(0,1) 若 X～ N(0,1), )(???? ????? bYaP)( bXaP ??)()()( abbXaP ??????( ) ( )ba??????? ? ? ? 引入標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的“上 α分位點(diǎn)”，它在數(shù)理統(tǒng)計(jì) 中經(jīng)常用到。 x=?時(shí)取到最大值。由于分布函數(shù)的。yyyyyyfyfXYyyFyFyXPyXPyYPyFyFyFxFYXXYYXYYYX例 X具有概率密度 fX(x),∞ x∞, 求 Y=X2的概率密度。 ????????其它。 先求 Y=g(X)的分布函數(shù) 139。 Y y1=g( x1) y2=g( x2) … y n=g( xn) … pk p1 p2 … p n … X x1 x2 … x n … pk p1 p2 … p n … 離散性 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 例 X具有以下的分布律，試求 Y=(X一 1)2 的分布律 . pk 1 0 1 2 X pk 0 1 4 Y=(X1)2 解 1. Y所有可能的值為 0,1,4。 至此，我們已初步介紹了兩類重要的隨機(jī)變量 : 離散型 f (x) x o x P(x) o 對它們分別用概率函數(shù)和密度函數(shù)描述 . 第三節(jié) 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義 分布函數(shù)的性質(zhì) 小結(jié) 布置作業(yè) 一、分布函數(shù)的定義 如果將 X 看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù) F(x) 的值就表示 X落在區(qū)間 內(nèi)的 ],( x??概率 . xo xX X?設(shè) X 是一個(gè) ， 稱 )()( xXPxF ?? )( ?????? x為 X 的分布函數(shù) , 記作 F (x) . (1) 在分布函數(shù)的定義中 , X是隨機(jī)變量 , x是參變量 . (2) F(x) 是 X取值不大于 x 的概率 . (3) 對任意實(shí)數(shù) x1x2，隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間 ( x1 , x2 ]內(nèi) 的概率為： P{ x1X x2} ? 因此，只要知道了隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)， 它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述 . ?? =P{ X x2 } P{ X x1 } = F(x2)F(x1) 1x 2xo x?? XXX請注意 : 分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)， 正是通過它，我們可以用高等數(shù) 學(xué)的工具來研究隨機(jī)變量 . ??????? xxXPxF ),()(xo xX X當(dāng) x0 時(shí) ， { X x } = ， 故 F(x) =0 ? ?例 1 設(shè) 隨機(jī)變量 X 的分布律為 當(dāng) 0 x 1 時(shí) ， F(x) = P{X x} = P(X=0) = ?31?F(x) = P(X x) ?解 0 x1 2x?x ??X XX kp0 1 21 3 1 6 1 2求 X 的分布函數(shù) F (x) . 當(dāng) 1 x 2 時(shí) ， F(x) = P{X=0}+ P{X=1}= + = ?316121當(dāng) x 2 時(shí) ， F(x) = P{X=0} + P{X=1} + P{X=2}= 1 ?0 x1 2?? ?Xx xX故 注意右連續(xù) 下面我們從圖形上來看一下 . ????????????????2,121,2110,310,0)(xxxxxF31211 2021 61OOO1)(xF 的分布函數(shù)圖 xy設(shè)離散型 r .v X 的分布律是 P{ X=xk } = pk , k =1,2,3,… F(x) = P(X x) = ??xxkkp?即 F(x) 是 X 取 的諸值 xk 的概率之和 . x?一般地 則其分布函數(shù) 二、分布函數(shù)的性質(zhì) ? ? ? ? , 上是一個(gè)不減函數(shù)在 ????xF(1) ? ?? ? ? ? 。最為人所知，也使得他走上數(shù)學(xué)之路的，就是正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法。 1795年高斯進(jìn)入哥廷根大學(xué)，因?yàn)樗谡Z言和數(shù)學(xué)上都極有天分，為了將來是要專攻古典語文或數(shù)學(xué)苦惱了一陣子。 ? ４ 1788年高斯不顧父親的反對進(jìn)了高等學(xué)校。 ? ３ 老師和助教去拜訪高斯的父親，要他讓高斯接受更高的教育，但高斯的父親認(rèn)為兒子應(yīng)該像他一樣，作個(gè)泥水匠，而且也沒有錢讓高斯繼續(xù)讀書，最后的結(jié)論是－－去找有錢有勢的人當(dāng)高斯的贊助人，雖然他們不知道要到哪里找。 ２ 終于發(fā)現(xiàn)