【正文】 ??? ???34 11， P(X＝ 5)＝ C515??? ???14 5??? ???34 10， 從而易知 P(X＝ 3)＝ P(X＝ 4)P(X＝ 5)． 答案 D 5．把一枚硬幣連續(xù)拋兩次，記 “ 第一次出現(xiàn)正面 ” 為事件 A， “ 第二次出現(xiàn)正面 ” 為事件 B，則 P(B|A)等于 ( )． 解析 法一 P(B|A)＝ P?AB?P?A? ＝1412＝ 12. 法二 A包括的基本事件為 {正，正 }， {正，反 }， AB 包括的基本事件為 {正，正 }，因此 P(B|A)＝ 12. 答案 A 。??? ???1－ 13 3－ 1＝ 49. 答案 A 3． (2020廣東 )甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍．若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為 ( )． 解析 問題等價(jià)為兩類：第一類，第一局甲贏，其概率 P1＝ 12；第二類，需比賽2局，第一局甲負(fù)，第二局甲贏，其概率 P2＝ 12 12＝ P1＋ P2＝ 34. 答案 A 2．小王通過英語聽力測試的概率是 13，他連續(xù)測試 3 次，那么其中恰有 1 次獲得通過的概率是 ( )． C. 427 D. 227 解析 所求概率 P＝ C13P(A)＝ P(A)江西 )某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進(jìn)行一項(xiàng)測試，以便確定工資級別．公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共 8 杯，其顏色完全 相同，并且其中 4 杯為 A 飲料，另外 4 杯為 B 飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從 8 杯飲料中選出 4 杯 A 飲料．若 4 杯都選對，則月工資定為 3 500 元；若 4 杯選對 3 杯，則月工資定為 2 800 元；否則月工資定為 2 100 元．令 X 表示此人選對 A 飲料的杯數(shù)．假設(shè)此人對 A 和 B 兩種飲料沒有鑒別能力． (1)求 X 的分布列； (2)求此員工月工資的期望． 解 (1)X 的所有可能取值為： 0,1,2,3,4， P(X＝ i)＝ Ci4C4－ i4C48 (i＝ 0,1,2,3,4)， 則 X 0 1 2 3 4 P 170 835 1835 835 170 (2)令 Y 表示此員工的月工資，則 Y 的所有可能取值為 2 100， 2 800,3 500，則 P(Y＝ 3 500)＝ P(X＝ 4)＝ 170， P(Y＝ 2 800)＝ P(X＝ 3)＝ 835， P(Y＝ 2 100)＝ P(X≤ 2)＝ 5370， E(Y)＝ 3 500 170＋ 2 800 1670＋ 2 100 5370＝ 2 280， 所以此員工月工資的期望為 2 280 元． 考向三 由獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率求離散型隨 機(jī)變量的分布列 【例 3】 ?(2020Cn－ 0N－ MCnN C1MCn－ 1N－ MCnN ? CmMCn－ mN－ MCnN 為超幾何分布列． 一類表格 統(tǒng)計(jì)就是通過采集數(shù)據(jù)，用圖表或其他方法去處理數(shù)據(jù)，利用一些重要的特征數(shù)信息進(jìn)行評估并做出決策，而離散型隨機(jī)變量的分布列就是進(jìn)行數(shù)據(jù)處理 的一種表格．第一行數(shù)據(jù)是隨機(jī)變量的取值，把試驗(yàn)的所有結(jié)果進(jìn)行分類，分為若干個(gè)事件，隨機(jī)變量的取值，就是這些事件的代碼；第二行數(shù)據(jù)是第一行數(shù)據(jù)代表事件的概率，利用離散型隨機(jī)變量的分布列，很容易求出其期望和方差等特征值． 兩條性質(zhì) (1)第二行數(shù)據(jù)中的數(shù)都在 (0,1)內(nèi)； (2)第二行所有數(shù)的和等于 1. 三種方法 (1)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到離散型隨機(jī)變量分布列； (2)由古典概型求出離散型隨機(jī)變量分布列； (3)由互斥事件、獨(dú)立事件的概率求出離散型隨機(jī)變量分布列． 雙基自測 1．拋擲均勻硬幣一次，隨機(jī)變量為 ( )． A．出現(xiàn)正面的次數(shù) B．出現(xiàn)正面或反面的次數(shù) C．?dāng)S硬幣的次數(shù) D．出現(xiàn)正、反面次數(shù)之和 解析 拋擲均勻硬幣一次出現(xiàn)正面的次數(shù)為 0或 1. 答案 A 2．如果 X 是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，那么下列命題中假命題是 ( )． A． X 取每個(gè)可能值的概率是非負(fù)實(shí)數(shù) B． X 取所有可能值的概率之和為 1 C． X 取某 2 個(gè)可能值的概率等于分別取其中每個(gè)值的概率之和 D． X 在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和 解析 由離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)得 p i≥ 0 ， i＝ 1,2 ， ? n ，且 ?i ＝ 1np i＝ 1. 答案 D 3．已知隨機(jī)變量 X 的分布列為： P(X＝ k)＝ 12k， k＝ 1,2， ? ，則 P(2X≤ 4)等于 ( )． A. 316 C. 116 D. 516 解析 P(2X≤ 4)＝ P(X＝ 3)＋ P(X＝ 4)＝ 123＋ 124＝ 316. 答案 A 4．袋中有大小相同的 5 只鋼球，分別標(biāo)有 1,2,3,4,5 五個(gè)號碼，任意抽取 2 個(gè)球，設(shè) 2 個(gè)球號碼之和為 X，則 X 的所有可能取值個(gè) 數(shù)為 ( )． A． 25 B． 10 C． 7 D． 6 解析 X 的可能取值為 1＋ 2＝ 3,1＋ 3＝ 4,1＋ 4＝ 5＝ 2＋ 3， 1＋ 5＝ 6＝ 4＋ 2,2＋ 5＝ 7＝ 3＋ 4,3＋ 5＝ 8,4＋ 5＝ 9. 答案 C 5．設(shè)某運(yùn)動(dòng)員投籃投中的概率為 P＝ ，則一次投籃時(shí)投中次數(shù)的分布列是________． 解析 此分布列為兩點(diǎn)分布列． 答案 X 0 1 P 考向一 由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)求離散型隨機(jī)變量的 分布列 【例 1】 ?(2020廣東 )在某次測驗(yàn)中，有 6 位同學(xué)的平均成績?yōu)?75 分．用 xn 表示編號為 n(n＝ 1,2， ? ， 6)的同學(xué)所得成績，且前 5 位同學(xué)的成績?nèi)缦拢? 編號 n 1 2 3 4 5 成績 xn 70 76 72 70 72 (1)求第 6 位同學(xué)的成績 x6，及這 6 位同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差 s； (2)從前 5 位 同學(xué)中，隨機(jī)地選 2 位同學(xué)，求恰有 1 位同學(xué)成績在區(qū)間 (68,75)中的概率． [審題視點(diǎn) ] 本題考查平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、古典概型概率的計(jì)算． (1)由這 6 位同學(xué)的平均成績?yōu)?75分，建立關(guān)于 x6的方程，可求得 x6，然后求方差，再求標(biāo)準(zhǔn)差；(2)用列舉法可得所求古典概型的概率． 解 (1)∵ 這 6 位同學(xué)的平均成績?yōu)?75 分， ∴ 16(70＋ 76＋ 72＋ 70＋ 72＋ x6)＝ 75，解得 x6＝ 90， 這 6 位同學(xué)成績的方差 s2＝ 16 [(70－ 75)2＋ (76－ 75)2＋ (72－ 75)2＋ (70－ 75)2＋ (72－ 75)2＋ (90－ 75)2]＝49， ∴ 標(biāo)準(zhǔn)差 s＝ 7. (2)從前 5 位同學(xué)中，隨機(jī)地選出 2 位同學(xué)的成績有： (70,76)， (70,72)， (70,70)，(70,72)， (76,72)， (76,70)， (76,72)， (72,70)， (72,72)， (70,72)，共 10 種， 恰有 1 位同學(xué)成績在區(qū)間 (68,75)中的有： (70,76)， (76,72)， (76,70)， (76,72)，共4 種，所求的概率為 410＝ ， 即恰有 1 位同學(xué)成績在區(qū)間 (68,75)中的概率為 . 有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個(gè)重要題型，已成為高考考查的熱點(diǎn)，概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、分布直方圖、莖葉圖等給出信息，只需要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類問題即可解決． 【訓(xùn)練 3】 一汽車廠生產(chǎn) A， B， C 三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表 (單位：輛 )： 轎車 A 轎車 B 轎車 C 舒適型 100 150 z 標(biāo)準(zhǔn)型 300 450 600 按類用分層 抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取 50 輛，其中有 A 類轎車 10輛． (1)求 z 的值； (2)用分層抽樣的方法在 C 類轎車中抽取一個(gè)容量為 5 的樣本．將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取 2 輛，求至少有 1 輛舒適型轎車的概率； (3)用隨機(jī)抽樣的方法從 B 類舒適型轎車中抽取 8 輛，經(jīng)檢測它們的得分如下： 9． 4,，把這 8 輛轎車的得分看成一個(gè)總體，從中任取一個(gè)數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過 的概率． 解 (1)設(shè)該廠這個(gè)月共生產(chǎn)轎車 n 輛， 由題意得 50n ＝ 10100＋ 300，所以 n＝ 2 000， 則 z＝ 2 000－ 100－ 300－ 150－ 450－ 600＝ 400. (2)設(shè)所抽樣本中有 a 輛舒適型轎車， 由題意得 4001 000＝ a5，則 a＝ 2. 因此抽取的容量為 5 的樣本中，有 2 輛舒適型轎車， 3 輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車．用 A1， A2表示 2 輛舒適型轎車，用 B1， B2， B3表示 3 輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，用 E 表示事件 “ 在該樣本中任取 2 輛，其中至少有 1 輛舒適型轎車 ” ，則基本事件空間包含的基本事件有： (A1， A2)， (A1， B1)， (A1， B2)， (A1， B3)， (A2， B1)， (A2， B2)， (A2， B3)， (B1，B2)， (B1， B3)， (B2， B3)，共 10 個(gè)． 事件 E 包含的基本事件有： (A1， A2)， (A1， B1)， (A1， B2)， (A1， B3)， (A2， B1)， (A2， B2)， (A2， B3)，共 7 個(gè)． 故 P(E)＝ 710，即所求概率為 710. (3)樣本平均數(shù) x ＝ 18(＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ )＝ 9. 設(shè) D 表示事件 “ 從樣本中任取一個(gè)數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過” ，則基本事件空間中有 8 個(gè)基本事件，事件 D 包含的基本事件有：,，共 6 個(gè)，所以 P(D)＝ 68＝ 34，即所求概率為 34. 閱卷報(bào)告 17—— 缺少必要的文字說明而失分 【問題診斷】 在閱卷中發(fā)現(xiàn)不少考生在解答概率問題的解答題時(shí)，只寫出所求結(jié)果， 缺少必要的文字說明，沒有按要求列出基本事件，致使丟了不該丟的分 . 【防范措施】 正確寫出基本事件空間，可以利用列表、畫樹狀圖等方法，以防遺漏 . 【 示例 】 ?(2020泰州聯(lián)考 )三張卡片上分別寫上字母 E、 E、 B，將三張卡片隨機(jī)地排成一行，恰好排成英文單詞 BEE 的概率為 ________． 解析 三張卡片排成一排共有 BEE， EBE， EEB 三種情況，故恰好排成 BEE 的概率為 13. 答案 13 考向一 基本事件數(shù)的探求 【例 1】 ?做拋擲兩顆骰子的試驗(yàn)：用 (x， y)表示結(jié)果，其中 x 表示第一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)， y 表示第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，寫出： (1)試驗(yàn)的基本事件； (2)事件 “ 出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于 8” ； (3)事件 “ 出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等 ” ； (4)事件 “ 出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于 10” ． [審題視點(diǎn) ] 用列舉法一一列舉． 解 (1)這個(gè)試驗(yàn)的基本事件為： (1,1)， (1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (1,6) (2,1)， (2,2)， (2,3)， (2,4)， (2,5)， (2,6) (3,1)， (3,2)， (3,3)， (3,4)， (3,5)， (3,6) (4,1)， (4,2)， (4,3)， (4,4)， (4,5)， (4,6) (5,1)， (5,2)， (5,3)， (5,4)， (5,5)， (5,6) (6,1)， (6,2)， (6,3)， (6,4)， (6,5)， (6,6) (2)事件 “ 出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于 8” 包含以下 10 個(gè)基本事件 (3,6)， (4,5)， (4,6)(5,4)，(5,5)， (5,6)， (6,3)， (6,4)， (6,5)， (6,6)． (3)事件 “ 出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等 ” 包含以下 6 個(gè)基本事件 (1,1)， (2,2)， (3,3)， (4,4)， (5,5)，(6,6)． (4)事件 “ 出現(xiàn) 點(diǎn)數(shù)之和大于 10” 包含以下 3 個(gè)基本事件 (5,6)， (6,5)， (6,6)． 基本事件數(shù)的探求主要有兩種方法：列舉法和樹狀圖法． 【訓(xùn)練 1】 用紅、黃、藍(lán)三種不同顏色給圖中 3 個(gè)矩形隨機(jī)涂色，每個(gè)矩形只涂一種顏色，寫出： (1)試驗(yàn)的基本事件； (2)事件 “ 3 個(gè)矩形顏色都相同 ” ； (3)事件 “ 3 個(gè)矩形顏色都不同 ” ． 解 (1)所有可能的基本事件共 27 個(gè)． (2)由圖可知，事件 “ 3 個(gè)矩形都涂同一 顏色 ” 包含以下 3 個(gè)基本事件：紅紅紅，黃黃黃