【正文】 解 分別用 X， Y表示第一、二周的需求量，則 ,0()0,xXx e xfx ?? ???? 其 它,0()0,yYy e yfy ?? ???? 其 它從而兩周的需求量 Z=X+Y，由卷積公式 ( ) ( ) ( )YZXf z f x f z x d x???????當 z≤0時 ， 若 x0，則 zx0， fZ(zx)=0； 若 x≤0，則 fX(x)=0， 故 ( ) ( ) ( ) 0Z X Yf z f x f z x? ? ?當 z0時 ， 若 x≤0，則 fX(x)=0； 若 zx≤0，即 z≤x， 則 fY(zx)=0, 故 ( ) 0Zfz ?因此，當 0xz時， ( ) ( ) ( )YZXf z f x f z x d x???????xyo0z y x? ? ?z y x??( ) ( ) ( )YZXf z f x f z x d x???????()0()z x z xx e z x e d x? ? ????0 ()z zx z x e dx????20 ()zze x z x d x????230|23zzxxez? ????????36zz e??綜合得 3,0() 60,zZzezfz?? ??? ??? 其 它2. 及 的分布 { , }M m a x X Y? { , }N m in X Y?設隨機變量 X， Y相互獨立，其分布函數(shù)分別為 和 ()XFx ()YFy由于 不大于 z等價于 X和 Y都大于 z，故有 { , }M m a x X Y?( ) { }MF z P M z?? { , }P X z Y z? ? ?{ } { }P X z P Y z? ? ?( ) ( )XYF z F z?類似地，可得 的分布函數(shù)為 m in { , }N X Y?( ) { }NF z P N z??1 { , }P X z Y z? ? ? ?1 { }P N z? ? ?1 { } { }P X z P Y z? ? ? ?1 [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]XYF z F z? ? ? ? 關于 M=max{X， Y}和 N=min{X， Y}分布的結(jié)論可以推廣到 n個相互獨立的隨機變量的情形： 設 X1， X2， … ， Xn是 n個相互獨立的隨機變量，其分布函數(shù) 分別為： ( ),則 的分布函數(shù)為 12, , , nX X XF F F1, 2 , ,in? 12m a x{ , , , }nM X X X?12( ) ( ) ( ) ( )nM X X XF z F z F z F z?12m i n{ , , , }nN X X X?的分布函數(shù)為 12( ) [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]nN X X XF z F z F z F z? ? ? ? 例 6 設隨機變量 X1， X2相互獨立，并有相同的幾何分布： 1{ } ,kiP X k p q ??? 1, 2 ,k ? ( 1 , 2 。 例 4 設 X和 Y相互獨立，均服從標準正態(tài)分布 N(0,1)，求 Z=X+Y的概率密度。 例 3 設隨機變量 X與 Y相互獨立 , 且同服從 [0， 1]上的均勻 分布 , 試求 的分布函數(shù)與密度函數(shù) . Z X Y??解 依題意，先如右的草圖，先求 FZ(z) XY11zzoY X z??Y X z??當 z≤0時，因為 |XY|≥0， 所以 ( ) { | | } 0ZF z P X Y z? ? ? ?當 0z1時， ( ) { | | }ZF z P X Y z? ? ?{}P z X Y z? ? ? ? ?因為 X與 Y相互獨立 , 且同服從[0， 1]上的均勻分布，所以由均勻分布概率計算公式知 2{ } 1 ( 1 )P z X Y z z? ? ? ? ? ? ?2( ) 1 ( 1 )ZF z z? ? ?即 當 z≥1時，因為 |XY|≤z成為必然事件，所以 ( 0 1 )z??( ) { | | } 1ZF z P X Y z? ? ? ?綜合得 20 , 0( ) 1 ( 1 ) , 0 11 , 1ZzF z z zz? ??? ? ? ? ??? ??XY21o1XY??對上式求導，即得 Z=|XY|的概率密度 2 ( 1 ) , 0 1( ) ( )0,ZZzzf z F z ? ? ??????? 其 它1. Z=X+Y 設 (X， Y)是二維隨機向量，其概率密度為 f(x， y)，求 Z=X+Y 的概率密度 fZ(z)。 (1) Z=X+Y (2) Z=XY 解 由 (X， Y)的概率分布可得 ijp( , )XYZ X Y??Z XY? 0 (1， 1) (1， 0) (1,1) (1,2) (2， 1) (2,0) (2,1) (2,2) 2 1 0 1 1 2 3 4 1 0 1 2 2 0 2 4 ijp( , )XYZ X Y??Z XY? 0 (1， 1) (1， 0) (1,1) (1,2) (2， 1) (2,0) (2,1) (2,2) 2 1 0 1 1 2 3 4 1 0 1 2 2 0 2 4 與一元離散型隨機變量函數(shù)的分布的求法相同， 把 Z值相同項對應的概率值合并 得 ijpZ X Y?? 0 2 1 0 1 2 3 4 2 1 0 1 2 4