【正文】 故 ， 接 受 原 假 設(shè) ， 即 認 為 數(shù) 據(jù) 來 自 正 態(tài) 總 體 。給定 α =，試用偏度、峰度檢驗法檢驗數(shù)據(jù)是否來自正態(tài)總體？ 141 148 132 138 154 142 150 146 155 158 150 140 147 148 144 150 149 145 149 158 143 141 144 144 126 140 144 142 141 140 145 135 147 146 141 136 140 146 142 137 148 154 137 139 143 140 131 143 141 149 148 135 148 152 143 144 141 143 147 146 150 132 142 142 143 153 149 146 149 138 142 149 142 137 134 144 146 147 140 142 140 137 152 145 解： 設(shè)數(shù)據(jù)來自總體 X，現(xiàn)在來檢驗假設(shè) 0 HX ： 服 從 正 態(tài) 分 布 .在這里， 下面計算樣本 2, 3, 4階中心矩 B1, B2和 B3。 當 X 服從正態(tài)分布，且 n充分大 (≥30)時， 近似地有 12 26 ( 2 ) ~ 0 ( 1 ) ( 3 )6 2 4 ( 2 ) ( 3 )~ 3 .1 ( 1 ) ( 3 ) ( 5 )nGNnnn n nGNn n n n?? ????????? ?????? ? ? ???， ，設(shè) X1, X2, ? , Xn 是抽自總體 X 的簡單樣本 ,則 12 22 1 1 1 2 2 2 16( 2) 24 ( 2) ( 3 )( 1 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 5 )6 3 = / = ( ) / 1n n n nn n n n nU G U Gn??? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ?? ? ??記 ， ， ， ， ，0 HX對 檢 驗 ： 服 從 正 態(tài) 分 布 ，1 / 4 2 / 4 0/4| | | | /4U z U z Hz??? ???當 或 時 ， 拒 絕 接 受 為 真 ， 其 中為 標 準 正 態(tài) 分 布 的 上 分 位 點 。 ν1與 ν2的矩估計量分別為： 設(shè) X1, X2, …, Xn 是抽自總體 X的簡單樣本，則 3 / 2 21 3 2 2 4 2/ / .G B B G B B?? ，2 3 412,B B BGG其 中 和 分 別 為 樣 本 的 2,3,4 階 中 心 矩 。 設(shè) X為一 隨機變量，稱其標準化變量 [ ( ) ] / ( )X E X D X?的三階矩和四階矩 331 3 / 2442 2( ) [ ( ( ) ) ],[ ( ) ]()( ) [ ( ( ) ) ][ ( ) ]()X E X E X E XEDXDXX E X E X E XEDXDX??????????????????????????????????????分別為 X的偏度和峰度。為此，統(tǒng)計學家們對檢驗正態(tài)總體的各種方法進行了比較，得出了如下結(jié)論： 在正態(tài)總體的檢驗方法中，“ 偏度、 峰度 檢驗法”和“ Shapiro, S. S. amp。因為兩個區(qū) 間上的理論概率 p1= p2=, 而 n=1521, 故 . 5 2 121 ???? npnp(3). 各區(qū)間上 實際頻數(shù)： f1=802， f2=719 . (4). 計算統(tǒng)計量的值 . )( )(222 ??????..).()(.kk 8413050 0 . 0 5 2 2121 ???????????25294，因為(5). H0 的顯著性水平為 α 的檢驗 所以，拒絕原假設(shè)，即認為男嬰女嬰出生概率有顯著差異。給定 α =，試問：能否認為男嬰、女嬰出生概率相同？ 解： 用 X 表示服從兩點分布的隨機變量 , X 取0, 1兩個值， X=1表示男嬰， X=0表是女嬰。 解： 定義隨機變量 X ????豌豆為綠色.豌豆為黃色，0,1,X我們要檢驗，記 . }0{}1{ 21 ???? XPpXPp . 4/14/3 210 ?? ppH ，：(1). 將 (∞, ∞) 分成兩個區(qū)間 . 0 . 5 ] ( ) 0 . 5( 21 ， ????? II(2). 計算每個區(qū)間上的理論頻數(shù)，這里 n = 25+11=36, 不存在要估計的未知參數(shù) , 故 . 94)/1(36 274)/3(36 21 ?????? npnp ，(3). 實際頻數(shù)為， f1=25， f2=11 . (4). 計算統(tǒng)計量的值 .5 9 9)911(27)2725( ][222122??????? ??i iiinpnpf?.)()( 0 . 5 9 2 0 . 0 5 2 21212 ???????????kk ，因為(5). H0 的顯著性水平為 α 的檢驗 所以，接受原假設(shè)，即認為豌豆的黃綠之比為 3:1 。下面的例子就是用 χ 2檢驗來檢驗孟德爾提出黃綠顏色豌豆數(shù)目之比為 3:1的論斷。這就解釋了黃綠顏色豆子之比為什么總是接近 3:1 這個觀察結(jié)果。 (黃 , 黃 )， (黃 , 綠 )， (綠 , 黃 )， (綠 , 綠 ). (黃 , 黃 )， (黃 , 綠 )， (綠 , 黃 )， (綠 , 綠 ). 孟德爾認為 , 前三種配合使豆子呈黃色 ,而第四種配合使豆子呈綠色。他大膽地假定存在一種實體，即現(xiàn)在我們稱為“基因”的東西，決定了豌豆的顏色。 這只是一個表面上的統(tǒng)計規(guī)律。他的這項偉大發(fā)現(xiàn)的過程有力地證明了統(tǒng)計方法在科學研究中的作用。 χ2檢驗的一個著名應用例子是孟德爾豌豆實驗。豌豆有黃和綠兩種顏色，在對它們進行兩代雜交之后，發(fā)現(xiàn)一部分雜交豌豆呈黃色，另一部分呈綠色。 由 .)( 2 1rk2 ??? ?? ???(5). H0 的顯著性水平為 α 的檢驗 于是，拒絕原假設(shè)，即認為棉紗拉力強度不服從正態(tài)分布。見表最后兩組合并成一組我們將前兩組和所以，均大于，而8 . 3 )( 5 ? ? 113 pnpn ?(3). 計算數(shù)據(jù)落入各子區(qū)間上的實際頻數(shù) fi 。 因分布中含有兩個未知參數(shù)，所以，理論頻數(shù)只能近似地估計。給定 α = ,檢驗假設(shè) H0：拉力強度 X ~ N(μ, σ2) . 解： 本例中，并未給出各觀測值 Xi 的具體值 ,只給出了各觀測值的取值范圍，這樣的數(shù)據(jù)稱為區(qū)間數(shù)據(jù)。 得22 6 1 6 3 .5 5 3 6 1 6 2 = ( 0 .0 5 ) 1 2 .5 2 9 , ??? ? ?故，在 α = , 接受原假設(shè)，即認為 數(shù)據(jù)服從指數(shù)分布 。由極大似然估計法，得 在 H0成立前提下， X 可能的取值為 [0, ∞), 將其分成 A1=[0, )， A2=[, ), ?, A9=[, ∞)， 則 P(Ai)=pi 的估計為 2231? 1 3 .7 7 .162x? ? ? ?1 ?1/??? ( ) , 1 , 2 , , 9 .iia xii ap P A e d x i??? ??? ? ??其中 Ai=[ai, ai+1)， i=1,2 ?,9 。 例 2: 自 1965年 1月 1日至 1971年 2月 9日共 2231天中 , 全世界記錄到里氏 4級或 4級以上地震共計 162次，相繼兩次地震間隔天數(shù) X統(tǒng)計如下 : 給定 α = , 檢驗假設(shè) X服從指數(shù)分布。 而 此 處 故 分 布 自 由 度為 = 。!? ?{ 1 2 } 1 0 . 0 0 2 .iiiiep P X i iip P X p??? ? ? ?? ? ? ? ??將檢驗統(tǒng)計量計算用數(shù)據(jù)填入下表，得 55iinpnp??其 中 一 些 ， 將 這 些 組 進 行 適 當 合 并 ，使 得 每 組 的 ， 如 上 表 的 第 4 列 的 花 括號 所 示 。 注： X~P(λ)表示 { } , 0 , 1 , 2 , .!i eP X i ii?? ?? ? ?解 : 因 H0中含有未知參數(shù) λ,所以應先估計該參數(shù)。 例 1: 在一實驗中 , 每隔一定時間觀察一次由某種鈾所放射到計數(shù)器上的 α粒子數(shù) X, 共觀察了100次 , 得到結(jié)果如下表 。 在實用上，一般要求 n ≥ 50，以及所有npi ≥5。頻數(shù)比較大的那些項在理論去除的其目的是：縮小每一項用 )?( ?inp)3( 2 12 ，k r ?? ? 1 22是參數(shù)個數(shù)。 fi =﹟ { X1, X2, ? , Xn ∈ Ii } ， i=1, 2, ? , k . 計數(shù)符號，取集 合中元素的個