【正文】 例 6： 下面列出了 84個伊特拉斯坎 (Etruscan)人男子頭顱的最大寬度 (mm) 。 . 1521802? 12211?????ppppp的估計為女嬰出生概率；的估計為男嬰出生概率 偏度、峰度 檢驗(yàn) χ 2檢驗(yàn)雖然是檢驗(yàn)總體分布的一種方法 , 但用它檢驗(yàn)正態(tài)總體時 , 犯第二類錯誤 (取偽 )的概率往往較大。 孟德爾這個發(fā)現(xiàn)的深遠(yuǎn)意義是他開辟了遺傳學(xué)研究的新紀(jì)元。因此，我們有必要在這里將這一情況介紹給大家。 fi =﹟ { X1, X2, ? , Xn ∈ Ii } ， i=1, 2, ? , 10 . . ? ]?[122 ??? ??ki iiipnpnf?(4). 計算檢驗(yàn)統(tǒng)計量的值 因?yàn)? k =10， r =2，所以上述 χ 2分布的自由度為 kr1=7。 55iinpnp??將 的 第 8 組 合 并 到 第 9 組 中 ， 使 得 每 組的 ， 如 上 表 的 第 4 列 的 花 括 號 所 示 。由極大似然估計法，得 在 H0成立前提下， X 可能的取值為 {0,1,2, ? }, 將該集合分成 A0={0}， A1={1}， ?, A11={11}, A12={12,13,?} ，則 P{X=i}=pi 的估計為 ? 4 . 2 .x? ??4 . 2111214 . 2?{ } , 0 , 1 , 2 , , 1 1 。 可以證明：在 H0 成立，且 n→∞ 時 , 和式中的影響力。如果 F(x) 形式已知，但含有未知參數(shù) θ 或參 數(shù)向量 θ=(θ1, θ2,? , θr) ，記為 F(x, θ )。例如，假設(shè)總體分布為正態(tài)分布 N(?, ?2), 總體分布為區(qū)間 (a, b) 上的均勻分布，等等。 根據(jù)定理 ，有 c1與 c2 的確定 且二者獨(dú)立。 經(jīng)計算，得 S2=, . 0 . 4 8 4)0 . 9 7 5()2/1( 1 1 . 1 4 3)0 . 0 2 5()2/( 242124212??????????????nn，分布表，得查. 1 1 . 1 4 )1(51)( 2202???????Sn算得故，拒絕原假設(shè) H0，即認(rèn)為部件的直徑標(biāo)準(zhǔn)差超過了 cm。 正態(tài)總體方差的檢驗(yàn) 當(dāng)原假設(shè) H0: ?2 = ?02成立時， S2和 ?02應(yīng)該比較接近，即比值 S 2/?02應(yīng)接近于 1。 ??????????niidnii ddnSYXdnd1221.)(11 1 ，記上述三種檢驗(yàn)的拒絕域分別為： ).()/( )()/( )2/()/(||111??????????ndndndtnSdtnSdtnSd和，例 4： 為了檢驗(yàn) A, B兩種測定鐵礦石含鐵量的方法是否有明顯差異 , 現(xiàn)用這兩種方法測定了取自 12個不同鐵礦的礦石標(biāo)本的含鐵量 (%)，結(jié)果列于表 。所以， XiYi 就消除了人的體質(zhì)等諸方面的條件差異，僅剩下降血壓藥的效果。即 , 認(rèn)為病人血液中這兩種藥濃度無顯著差異。 設(shè) X1, X2, ? , Xm與 Y1, Y2, ? , Yn 分別為抽自正態(tài)總體 N(?1, ?12)和 N(?2, ?22)的樣本，記 的均值和方差。 H1: μ15 (?2未知 ) , 0 4 50)(50 )( , 491n0???????ttnSX??. 0 . 0 1 0 . 5 15 50 0 ????? ?? ，此處， SXn于是 ， . )( 1n0 ?? tnSX ??所以，從而，拒 絕原假設(shè)，即認(rèn)為新的原材料確實(shí)提高了繩子所能承受的最大拉力。我們想了解 “ ?是否顯著地大于 μ0”, 即產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)是否顯著地增加了 。 H1: μ≠μ0 的對立假設(shè)為 H1: μ ≠μ0 , 該假設(shè) 稱為 雙邊對立假設(shè) 。此時，和前面不同的是： 常用樣本方差 S 2代替未知的 ? 2 。 稱 ? 為假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性水平，簡稱水平 。 III. 方 法原 理 ? ? . )9/0 1 (|| 2/ ?? ??? zXP那么，一旦小概率事件發(fā)生，即 : 發(fā)生 , 就認(rèn)為 H0不正確。 II. 解決問題的思路 因樣本均值是 μ 的一個很好的估計。當(dāng)機(jī)器正常時 , 其均值為 , 標(biāo)準(zhǔn)差為 kg。 這類問題稱為假設(shè)檢驗(yàn)。 ● 確定總體： 記 X 為該 車間包裝機(jī)包裝的袋裝 葡萄糖的重量 ，則 X ～ N(?, )； ● 明確任務(wù) ： 通過樣本推斷“ ?是否等于 ”； ● 建立 假設(shè)： 上面的任務(wù)是要通過樣本檢驗(yàn) “ ? =” 的假設(shè)是否成立。 用以上檢驗(yàn)準(zhǔn)則處理我們的問題， 所以， 拒 絕 H0:μ=，認(rèn)為機(jī)器異常 。 所以， 犯兩類錯誤的概率不能同時得到控制。 這時 ， 犯第一類錯誤的概率是多少呢 ？ || 我們拒絕了原假設(shè)時，因?yàn)楫?dāng) cX ??. )9/0 1 ( 2/?zc ?其中 可見：用該方法進(jìn)行檢驗(yàn)時，犯第一類錯誤的概率等于 ?，即 顯著性水平等于 ?。 H1: μ≠μ0 ， 其中 μ0=225。 右邊 對立假設(shè)和 左邊 對立假設(shè)統(tǒng)稱 為單邊對立假設(shè)，其檢驗(yàn)為單邊檢驗(yàn)。取顯著性水平 ? =。 又如： 考察一項(xiàng)新技術(shù)對提高產(chǎn)品質(zhì)量是否有效。通常是：如果方差比檢驗(yàn)未被拒絕 (見下節(jié) ), 就認(rèn)為 ?12和 ?22相差不是太大。 成對數(shù)據(jù)的 t 檢驗(yàn) 例如 : 為了考察一種降血壓藥的效果，測試了n 個高血壓病人服藥前、后的血壓分別為 X1, X2,? , Xn 和 Y1,Y2,? ,Yn。 H1: μ≠0； H0: μ≥0。 .0 0 0 0 . 0 1 6 7 2 ??? dSd ，容易算出.0 1 6 )2/()(0 . 0 1 6 7 )2/( 0 . 0 5 12 11???????????ndntn/S|d|tn 得，再由 利用樣本方差 S 2是 ?2的一個無偏估計，且 (n1)S2/ ?2 ~χ2n1 的結(jié)論。 3*. H0: ?2 ≤?02； H1: ?2 ?02 (同 2.) 例 1： 某公司生產(chǎn)的發(fā)動機(jī)部件的直徑 (單位 : cm) 服從正態(tài)分布，并稱其標(biāo)準(zhǔn)差 ?0= 。 合理的思路是：找兩個界限 c1和 c2, ● 當(dāng) c1 S12/S22 c2 時，接受 H0； ● 當(dāng) S12/S22 ≤ c1, 或 S12/S22 ≥ c2 時 , 拒絕 H0 。 在顯著性水平 ? = , 是否可接受： (l).?12 =?22； (2).?12≤ ?22. 解： (1). 的問題是檢驗(yàn) H0: ?12 =?22； H1: ?12 ≠?22. 其中， m=12, n=10, α =, S12=, S22=, S12/S22 =。 解決這類問題的方法最早由英國統(tǒng)計學(xué)家 K. Pearson (皮爾遜 ) 于 1900年在他發(fā)表的一篇文章中給出 , 該方法后被稱為 Pearson χ 2檢驗(yàn)法，簡稱 χ 2檢驗(yàn) 。當(dāng)分布函數(shù)中含有未知參數(shù) θ時，理論頻數(shù)也未知，要用 來估計 n pi (θ)， 為 θ的極大似然估計。 例 1: 在一實(shí)驗(yàn)中 , 每隔一定時間觀察一次由某種鈾所放射到計數(shù)器上的 α粒子數(shù) X, 共觀察了100次 , 得到結(jié)果如下表 。 例 2: 自 1965年 1月 1日至 1971年 2月 9日共 2231天中 , 全世界記錄到里氏 4級或 4級以上地震共計 162次，相繼兩次地震間隔天數(shù) X統(tǒng)計如下 : 給定 α = , 檢驗(yàn)假設(shè) X服從指數(shù)分布。 因分布中含有兩個未知參數(shù)，所以，理論頻數(shù)只能近似地估計。 χ2檢驗(yàn)的一個著名應(yīng)用例子是孟德爾豌豆實(shí)驗(yàn)。 (黃 , 黃 )， (黃 , 綠 )， (綠 , 黃 )， (綠 , 綠 ). (黃 , 黃 )， (黃 , 綠 )， (綠 , 黃 )， (綠 , 綠 ). 孟德爾認(rèn)為 , 前三種配合使豆子呈黃色 ,而第四種配合使豆子呈綠色。給定 α =，試問：能否認(rèn)為男嬰、女嬰出生概率相同？ 解： 用 X 表示服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量 , X 取0, 1兩個值， X=1表示男嬰， X=0表是女嬰。 ν1與 ν2的矩估計量分別為： 設(shè) X1, X2, …, Xn 是抽自總體 X的簡單樣本，則 3 / 2 21 3 2 2 4 2/ / .G B B G B B?? ，2 3 412,B B BGG其 中 和 分 別 為 樣 本 的 2,3,4 階 中 心 矩 。故 ， 接 受 原 假 設(shè) ， 即 認(rèn) 為 數(shù) 據(jù) 來 自 正 態(tài) 總 體 。 設(shè) X為一 隨機(jī)變量，稱其標(biāo)準(zhǔn)化變量 [ ( ) ] / ( )X E X D X?的三階矩和四階矩 331 3 / 2442 2( ) [ ( ( ) ) ],[ ( ) ]()( ) [ ( (